и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2-1

Индекс детерминации.
Величину R2 (равную отношению объясненной уравнением регрессии дисперсии результата у к общей дисперсии у) для нелинейных связей называют индексом детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию индекса детерминации, его выражают в процентах.
EQ R2 = 1 – f(∑(yi – yx)2; ∑(yi – xto(y))2)
EQ R2 = 1- f(76.81;362) = 0.788
т.е. в 78.78 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами – точность подбора уравнения регрессии – высокая. Остальные 21.22 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)
x y y(x) (yi-ycp)2 (y-y(x))2
0.8 5 6.78 121 3.16
1 7 8.23 81 1.52
1.8 13 12.07 9 0.87
2.5 15 14.21 1 0.62
4 20 17.28 16 7.41
5.7 25 19.59 81 29.28
7.5 22 21.38 36 0.39
8.3 20 22.04 16 4.16
8.8 17 22.42 1 29.4
40.4 144 144 362 76.81

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:
EQ S2 = f(∑(yi – yx)2;n – m – 1)
EQ S2 = f(76.81;7) = 10.973
S2 = 10.973 – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
EQ S = r(S2) = r(10.973) = 3.31
S = 3.31 – стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa – стандартное отклонение случайной величины a.
EQ Sa = S f(r( ∑x2);n S(x))
EQ Sa = 3.31 f( r(19.45);9 • 0.863) = 1.88
Sb – стандартное отклонение случайной величины b.
EQ Sb = f(S;r(n) S(x))
EQ Sb = f( 3.31; r(9) • 0.863) = 1.28
2.2. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y).
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.
Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез.
В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности.
Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости α=0.05.
H0: b = 0, то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности;
H1: b ≠ 0, то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности.
В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем…