Исследуется зависимость производительности труда y (условные единицы) от уровня механизации работ х1 (%) и среднего возраста работников х2 (лет) по да

Формула для расчета значения статистики Фаррара-Глоубера:
χ2 = -[n-1-(2m+5)/6]ln(det[R])
где m = 2 – количество факторов, n = 14 – количество наблюдений, det[R] – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции R.
Сравниваем его с табличным значением при v = m/2(m-1) = 1 степенях свободы и уровне значимости α. Если χ2 > χтабл2, то в векторе факторов есть присутствует мультиколлинеарность.
χтабл2(1;0.05) = 3.84146

Проверим переменные на мультиколлинеарность по второму виду статистических критериев (критерий Фишера).
Определяем обратную матрицу D = R-1:
EQ D = bbc| (a al co3 hs3 (18,13;-16,995;-1,567;-16,995;17,082;1,053;-1,567;1,053;1,286))
Вычисляем F-критерии Фишера:
EQ Fk = (dkk-1)f(n-m;m-1)
где dkk – диагональные элементы матрицы.
Рассчитанные значения критериев сравниваются с табличными при v1=n-m и v2=m-1 степенях свободы и уровне значимости α. Если Fk > FТабл, то k-я переменная мультиколлинеарна с другими.
v1=14-2 = 12; v2=2-1 = 1. FТабл(12;1) = 244
EQ F1 = (18.13-1)f(14-2;2-1) = 205.56
Поскольку F1 ≤ Fтабл, то переменная y немультиколлинеарна с другими.
EQ F2 = (17.082-1)f(14-2;2-1) = 192.98
Поскольку F2 ≤ Fтабл, то переменная x1 немультиколлинеарна с другими.
EQ F3 = (1.286-1)f(14-2;2-1) = 3.44
Поскольку F3 ≤ Fтабл, то переменная x2 немультиколлинеарна с другими.

Проверим переменные на мультиколлинеарность по третьему виду статистических критериев (критерий Стьюдента). Для этого найдем частные коэффициенты корреляции.
Частные коэффициенты корреляции.
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено.
На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели.
Можно сделать вывод, что при построении регрессионного уравнения следует отобрать факторы x1 .
2) Найдем оценки параметров множественной линейной регрессии и составим уравнение плоскости регрессии .
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:
EQ tj = f(xji-xto(xj);S(xj))
где хji – значение переменной хji в i-ом наблюдении.
EQ ty = f(yi-xto(xj);S(y))
Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.
Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:
ty = ∑βjtxj
Для оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:
rx1y=β1+rx1x2•β2 + … + rx1xm•βm
rx2y=rx2x1•β1 + β2 + … + rx2xm•βm
…
rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + … + βm
Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):
0.969 = β1 + 0.362β2
0.426 = 0.362β1 + β2
Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: β1 = 0.937; β2 = 0.0864;
Искомое уравнение в стандартизованном масштабе: ty=β1tx1+β2tx2
Расчет β-коэффициентов можно выполнить и по формулам:
EQ β1 = f(ryx1-ryx2rx1x2;1-rx1x22) = f(0.969-0.426 • 0.362;1-0.3622) = 0.937
EQ β2 = f(ryx2-ryx1rx1x2;1-rx1x22) = f(0.426-0.969 • 0.362;1-0.3622) = 0.0864
Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:
y0 = 0.937×1 + 0.0864×2
Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:
EQ bj = βf(S(y);S(xj))
EQ a = xto(y) – ∑bjxto(xj)
3. Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка ε = Y – Y(x) = Y – X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)
Y Y(x) ε = Y – Y(x) ε2 (Y-Yср)2 |ε : Y|
31 30.196 0.804 0.646 51.02 0.0259
33 31.982 1.018 1.037 26.449 0.0309
34 33.622 0.378 0.143 17.163 0.0111
36 36.3 -0.3 0.0901 4.592 0.00834
37 39.601 -2.601 6.765 1.306 0.0703
40 39.186 0.814 0.663 3.449 0.0204
41 42.978 -1.978 3.913 8.163 0.0482
43 39.234 3.766 14.181 23.592 0.0876
44 43.027 0.973 0.947 34.306 0.0221
46 46.978 -0.978 0.957 61.735 0.0213
48 47.393 0.607 0.368 97.163 0.0126
51 51.234 -0.234 0.0548 165.306 0.00459
23 26.819 -3.819 14.586 229.306 0.166
27 25.449 1.551 2.406 124.163 0.0574
0 46.757 847.714 0.587
Средняя ошибка аппроксимации
EQ A = f(∑|ε : Y|;n) 100% = f(0.587;14) 100% = 4.19%
Оценка дисперсии равна:
se2 = (Y – X*Y(X))T(Y – X*Y(X)) = 46.76
Несмещенная оценка дисперсии равна:
EQ s2 = f(1;n-m-1) s2e = f(1;14 – 2 – 1)46.76 = 4.25
Оценка среднеквадратичного отклонения (стандартная ошибка для оценки Y):
EQ S = r(S2) = r(4.25) = 2.06
Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S2 • (XTX)-1
EQ k(x) = 2.06bbc| (a al co3 hs3 (7,137;-0,00206;-0,166;-0,00206;0,000427;-0,000508;-0,166;-0,000508;0,0046)) = bbc| (a al co3 hs3 (30,338;-0,00875;-0,704;-0,00875;0,00182;-0,00216;-0,704;-0,00216;0,0196))
Дисперсии параметров модели определяются соотношением S2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диа…