Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4√2 см, а сторона многоугольника равна 8 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.

1) Чтобы найти радиус окружности, вписанной в многоугольник, мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности:

r = a / (2 * tan(π/n)),

где r – радиус вписанной окружности, a – длина стороны многоугольника, n – количество сторон многоугольника.

Для нашего многоугольника a = 8 см. Подставим это значение в формулу и найдем n:

4√2 = 8 / (2 * tan(π/n)).

Упростим выражение:

√2 = 1 / (tan(π/n)).
√2 = cot(π/n).

Найдем значение π/n, используя обратную функцию к котангенсу:

π/n = arccot(√2).

Используя обратную функцию косинуса:

π/n = 45°.

Подставим найденное значение в исходную формулу:

4√2 = 8 / (2 * tan(π/n)).
4√2 = 8 / (2 * tan(45°)).
4√2 = 8 / (2 * 1).
4√2 = 8 / 2.
4√2 = 4.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 4 см.

2) Количество сторон многоугольника можно найти, используя формулу для радиуса вписанной окружности:

r = a / (2 * tan(π/n)),

где r – радиус вписанной окружности, a – длина стороны многоугольника, n – количество сторон многоугольника.

Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен 4 см, а длина стороны многоугольника равна 8 см. Подставим значения в формулу:

4 = 8 / (2 * tan(π/n)).

Упростим выражение:

1 = 4 / (2 * tan(π/n)).
1 = 2 / tan(π/n).
1 = cot(π/n).

Используя обратную функцию котангенса:

π/n = arccot(1).

Используя обратную функцию косинуса:

π/n = 45°.

Таким образом, количество сторон многоугольника равно 8.