Сечение правильной шестиугольной пирамиды S A B C D E F образовано плоскостью, проходящей через центр основания A B C D E F и параллельной медиане CM боковой грани S C D и апофеме S N боковой грани S A F . Найти отношение объёмов многогранников, на кото плоскость сечения разбивает пирамиду, если плоскость сечения наклонена к плоскости основания пирамиды под углом arccos √ 3 4 . Решение представить в виде несократимой дроби m n , где m и n – натуральные числа.

Для решения задачи, мы должны найти отношение объёмов двух многогранников, на которые плоскость сечения разбивает пирамиду. Обозначим эти объёмы как V1 и V2.

Шаги решения:
1. Рассмотрим плоскость сечения. Мы знаем, что она проходит через центр основания и параллельна медиане CM боковой грани SCD, а также параллельна апофеме SN боковой грани SAF.
2. Поскольку плоскость сечения параллельна медиане и апофеме, она также будет параллельна боковым ребрам пирамиды и будет образовывать трапецию на основании пирамиды.
3. Найдем площадь основания пирамиды SABCDEF. Учитывая, что это правильная шестиугольная пирамида, каждая сторона основания равна и равна R, а высота пирамиды равна H, то мы можем использовать формулу для площади правильного шестиугольника: Sосн = 3√3 / 2 * R², где R – длина стороны.
4. Так как плоскость сечения параллельна основанию пирамиды, площадь трапеции тоже равна Sосн.
5. Рассмотрим верхнюю базу трапеции, она будет шестиугольником с основанием SADCNF и высотой, равной H. Для вычисления площади этого шестиугольника мы можем разделить его на 6 равносторонних треугольников и вычислить площадь одного из них.
6. Радиус описанной окружности равно R, и высота треугольника H, поэтому его площадь равна Sтр = (1/2) * R * H.
7. Так как в шестиугольнике 6 таких треугольников, площадь всего шестиугольника равна Sшс = 6 * Sтр = 6 * (1/2) * R * H = 3 * R * H.
8. Отношение объёмов двух многогранников будет равно отношению соответствующих площадей: V1 / V2 = Sосн / Sшс = (3√3 /2 * R²) / (3 * R * H) = √3 / (2 * H).
9. Однако нам нужно выразить это отношение в виде несократимой дроби m / n. Обратим внимание, что R/H – отношение радиуса описанной окружности к высоте треугольника. Для правоугольного треугольника SCH с гипотенузой равной R и высотой, равной H, мы можем выразить это отношение как R/H = tan(arccos(√3/4)).
10. Таким образом, V1 / V2 = √3 / (2 * H) = √3 / (2 * R * H) = √3 / (2 * R * H) * (tan(arccos(√3/4)) / tan(arccos(√3/4))) = √3 / (2 * tan(arccos(√3/4))).
11. Обозначим tan(arccos(√3/4)) за a. Теперь мы можем записать V1 / V2 = √3 / (2 * a).
12. Чтобы привести это выражение к несократимой дроби m / n, мы должны выразить √3 в виде десятичной или обыкновенной дроби и привести a к несократимому виду.
13. Найдем a. Мы знаем, что tan(arccos(x)) = √(1 – x²) / x. Подставим x = √3/4 в это уравнение: a = tan(arccos(√3/4)) = √(1 – (√3/4)²) / (√3/4).
14. Упростим это выражение: a = √(1 – 3/4) / (√3/4) = √(1/4) / (√3/4) = 1 / √3 = √3/3.
15. Теперь можем записать V1 / V2 = √3 / (2 * a) = (√3) / (2 * (√3/3)) = 1 / 2.
16. Получили, что отношение объёмов многогранников равно 1 / 2, то есть m = 1, n = 2.
17. Ответ: отношение объёмов равно 1 / 2.