int((2x^5+6x^3+1)/(x^4+3x^2))dx.

Дано интеграл ∫[(2x^5+6x^3+1)/(x^4+3x^2)]dx.

Чтобы решить этот интеграл, мы можем использовать метод частных дробей. Шаги решения:

1. Разложим дробь (2x^5+6x^3+1)/(x^4+3x^2) на сумму простых дробей с неизвестными коэффициентами. Предположим, что разложение имеет вид:
(2x^5+6x^3+1)/(x^4+3x^2) = A/(x^2+1) + B/(x^2+3),

где A и B – неизвестные коэффициенты.

2. Приведём дроби в числителях в общий знаменатель:
(2x^5+6x^3+1)/(x^4+3x^2) = (A*(x^2+3) + B*(x^2+1))/(x^4+3x^2).

3. Раскроем скобки в числителе:
(2x^5+6x^3+1)/(x^4+3x^2) = (Ax^2+3A + Bx^2+B)/(x^4+3x^2).

4. Соберём все подобные члены и приравняем числители:
2x^5+6x^3+1 = (Ax^2+3A + Bx^2+B)(x^4+3x^2).

5. Раскроем скобки в знаменателе:
2x^5+6x^3+1 = (Ax^2+3A + Bx^2+B)(x^4+3x^2).
2x^5+6x^3+1 = (Ax^4+3Ax^2 + Bx^2+Bx^4+3Bx^2).

6. Соберём все подобные члены:
2x^5+6x^3+1 = (A+B)x^4 + (3A+4B)x^2 + 3Ax^2.

7. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x и составим систему уравнений:
A+B = 0,
3A+4B = 6,
3A = 1.

8. Решим систему уравнений. Подставим значение A из третьего уравнения в первое:
3A = 1,
A = 1/3.

Подставим значение A во второе уравнение:
3*(1/3)+4B = 6,
1+4B = 6,
4B = 5,
B = 5/4.

Таким образом, получаем A = 1/3 и B = 5/4.

9. Получаем разложение исходной дроби:
(2x^5+6x^3+1)/(x^4+3x^2) = (1/3)/(x^2+1) + (5/4)/(x^2+3).

10. Вычислим интеграл:
∫[(2x^5+6x^3+1)/(x^4+3x^2)]dx = ∫[(1/3)/(x^2+1) + (5/4)/(x^2+3)]dx.

Интеграл от первой дроби (1/3)/(x^2+1) равен (1/3)*arctan(x) + C,
где C – произвольная константа.

Интеграл от второй дроби (5/4)/(x^2+3) равен (5/4)*sqrt(3)*arctan(x/sqrt(3)) + C,
где C – произвольная константа.

Таким образом, окончательный ответ:
∫[(2x^5+6x^3+1)/(x^4+3x^2)]dx = (1/3)*arctan(x) + (5/4)*sqrt(3)*arctan(x/sqrt(3)) + C,
где C – произвольная константа.