sin(x+pi*1/6)>=sqrt(3)*1/2

$$sin{left (x + frac{pi}{6} right )} geq frac{sqrt{3}}{2}$$

Дано неравенство:
$$sin{left (x + frac{pi}{6} right )} geq frac{sqrt{3}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin{left (x + frac{pi}{6} right )} = frac{sqrt{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin{left (x + frac{pi}{6} right )} = frac{sqrt{3}}{2}$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x + frac{pi}{6} = 2 pi n + {asin}{left (frac{sqrt{3}}{2} right )}$$
$$x + frac{pi}{6} = 2 pi n – {asin}{left (frac{sqrt{3}}{2} right )} + pi$$
Или
$$x + frac{pi}{6} = 2 pi n + frac{pi}{3}$$
$$x + frac{pi}{6} = 2 pi n + frac{2 pi}{3}$$
, где n – любое целое число
Перенесём
$$frac{pi}{6}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = 2 pi n + frac{pi}{6}$$
$$x = 2 pi n + frac{pi}{2}$$
$$x_{1} = 2 pi n + frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 pi n + frac{pi}{2}$$
$$x_{1} = 2 pi n + frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 pi n + frac{pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 pi n + frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 pi n + frac{pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$2 pi n + frac{pi}{6} + – frac{1}{10}$$
=
$$2 pi n – frac{1}{10} + frac{pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$sin{left (x + frac{pi}{6} right )} geq frac{sqrt{3}}{2}$$
$$sin{left (2 pi n + frac{pi}{6} + – frac{1}{10} + frac{pi}{6} right )} geq frac{sqrt{3}}{2}$$

___
/ 1 pi / 3
sin|- — + — + 2*pi*n| >= —–
10 3 / 2

но

___
/ 1 pi / 3
sin|- — + — + 2*pi*n| < ----- 10 3 / 2

Тогда
$$x leq 2 pi n + frac{pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 2 pi n + frac{pi}{6} wedge x leq 2 pi n + frac{pi}{2}$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

/pi pi
And|– <= x, x <= --| 6 2 /

$$frac{pi}{6} leq x wedge x leq frac{pi}{2}$$

pi pi
[–, –]
6 2

$$x in left[frac{pi}{6}, frac{pi}{2}right]$$