Интеграл 1/(sin(x)^(4)) (dx)

Метод #1

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   frac{1}{sin^{4}{left (x right )}} = frac{1}{sin^{4}{left (x right )}}

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   csc^{4}{left (x right )} = left(cot^{2}{left (x right )} + 1right) csc^{2}{left (x right )}

3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть
      u = cot{left (x right )}
      .

      Тогда пусть
      du = left(- cot^{2}{left (x right )} – 1right) dx
      и подставим
      du
      :

      int – u^{2} – 1, du

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int – u^{2}, du = – int u^{2}, du

            1. Интеграл
               u^{n}
               есть
               frac{u^{n + 1}}{n + 1}
               :

               int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            – frac{u^{3}}{3}

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            int -1, du = – u

         Результат есть:
         – frac{u^{3}}{3} – u
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      – frac{1}{3} cot^{3}{left (x right )} – cot{left (x right )}

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      left(cot^{2}{left (x right )} + 1right) csc^{2}{left (x right )} = cot^{2}{left (x right )} csc^{2}{left (x right )} + csc^{2}{left (x right )}

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть
         u = cot{left (x right )}
         .

         Тогда пусть
         du = left(- cot^{2}{left (x right )} – 1right) dx
         и подставим
         – du
         :

         int u^{2}, du

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int u^{2}, du = – int u^{2}, du

            1. Интеграл
               u^{n}
               есть
               frac{u^{n + 1}}{n + 1}
               :

               int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            – frac{u^{3}}{3}
            $$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         – frac{1}{3} cot^{3}{left (x right )}

      1. int csc^{2}{left (x right )}, dx = – cot{left (x right )}

      Результат есть:
      – frac{1}{3} cot^{3}{left (x right )} – cot{left (x right )}