Назовем данную прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC равен 90 градусам и угол ABC равен 60 градусам. Пусть катет AB будет равен x, а гипотенуза AC будет равна y.
Из условия задачи известно, что y + x = 102, а также мы знаем, что угол ABC равен 60 градусам.
Рассмотрим треугольник ABC. Так как угол ABC равен 60 градусам, это значит, что треугольник ABC является равнобедренным. То есть, катет AB равен катету BC.
Теперь, используя тригонометрию, можно найти соотношение между катетом и гипотенузой в равнобедренном треугольнике ABC.
Тангенс угла ABC равен отношению противолежащего катета (x) к прилежащему катету (x). Таким образом, tg(60°) = x / y.
Поскольку tg(60°) = √3, получаем следующее уравнение: √3 = x / y, что можно переписать в виде y = x / √3.
Теперь, подставляем это значение y в уравнение y + x = 102:
x / √3 + x = 102.
Умножаем обе части уравнения на √3, чтобы избавиться от знаменателя:
x + √3x = 102√3.
Выражаем x:
(1 + √3)x = 102√3.
x = 102√3 / (1 + √3).
Продолжаем сокращать:
x = 102√3 / (1 + √3) * (1 – √3) / (1 – √3).
x = 102√3 * (1 – √3) / (1^2 – (√3)^2).
x = 102√3 * (1 – √3) / (1 – 3).
x = 102√3 * (1 – √3) / (-2).
x = 102√3 * (3 – 1) / 2.
x = 102 * √3.
Таким образом, катет AB равен 102 * √3.
Найдем гипотенузу AC, используя уравнение y + x = 102:
y + 102 * √3 = 102.
y = 102 – 102 * √3.
y = 102(1 – √3).
Таким образом, гипотенуза AC равна 102(1 – √3).