1. Пусть АВ = 2х, ВС = 3х и АК = у. Так как ВК – биссектриса угла В, то ВК делит сторону АС пополам. Значит, КС = BC – CK = 3х – у. Также, по теореме степени точки, КС*КА = ВС*ВК. Подставляем известные значения: (3х-у)*у = 3х*х. Раскрываем скобки: 3ху – у² = 3х². Получаем у² – 3ху + 3х² = 0. Данное квадратное уравнение имеет два корня: у = (3х ± √(3х)² – 4*3*х²) / 2. Упрощая, получаем: у = (3х ± √(9х² – 12х²)) / 2 = (3х ± √(9х² – 36х²)) / 2 = (3х ± √(-27х²)) / 2. Известно, что сторона не может быть отрицательной, поэтому √(-27х²) = √(-1*3²*х²) = √(3²*х²) * √-1 = 3х * √-1 = 3хi. Таким образом, у = (3х + 3хi) / 2 или у = (3х – 3хi) / 2. Выражаем сторону АК в виде акс + би, где х и у – переменные, а а и б – коэффициенты. Получаем: АК = 3х/2 + 3хi/2 или АК = 3х/2 – 3хi/2. Заметим, что даным условиям удовлетворяет только АК = 3х/2 + 3хi/2. Если 3х/2 + 3хi/2 = 15, то 3х/2 = 15 и 3хi/2 = 0. Решаем уравнения: 3х/2 = 15 => 3х = 30 => х = 10. Обратно подставляем в исходное условие: АК = 3х/2 + 3хi/2 = 3*10/2 + 3*10i/2 = 15 + 15i. Ответ: сторона АК = 15 + 15i.
2. Пусть одна хорда делится на отрезки а и b, а вторая хорда на отрезки с и d, причем с < d. Заметим, что произведение отрезков равно. То есть, а*b = с*d. Из условия известно, что а - b = 2. Заменим а в уравнении ab = cd выражением b + 2: (b + 2)*b = cd. Раскрываем скобки: b² + 2b = cd. Из условия известно, что с < d, а значит, cd > cd – 2с. Значит, b² + 2b > cd – 2с. Подставляем вместо b + 2 выражение а – 2 и упрощаем: а² – 4 + 2а > cd – 2с => а² + 2а – cd + 2с – 4 > 0. Введем новые обозначения: x = а, y = с, z = d – с. Тогда а = x, с = y, d = z + y и полученное неравенство можно записать как x² + 2x – (z + y) + 2y – 4 > 0. Заметим, что данное неравенство можно записать в виде квадратного трехчлена по переменной x: x² + (2 – z + 2y)x – (4 – y) > 0. Так как данное неравенство выполняется при любых значениях переменной x, то его дискриминант D должен быть меньше нуля: (2 – z + 2y)² – 4*(4 – y) < 0. Раскрываем скобки: 4 - 4z + 4y + z² - 4zy + 4y² - 16 + 4y < 0. Упрощаем: z² - 4z + 4y² - 4zy + 8y - 12 < 0. Заметим, что данное неравенство можно записать в виде суммы квадратов: (z - 2)² + 4(y - 1)² - 12 < 0. Так как квадраты неотрицательны, то учитывая, что з = d - c > 0 (иначе бы хорды не пересекались), получаем: 4(y – 1)² < 12. Поделим обе части на 4 и извлечем корень: (y - 1)² < 3. Так как квадрат неотрицателен, то -√3 < y - 1 < √3. А значит, -√3 + 1 < y < √3 + 1. Таким образом, получился набор возможных значений для второй хорды - интервал (-√3 + 1, √3 + 1). Ответ: длина второй хорды находится в интервале (-√3 + 1, √3 + 1).
