Шаги решения:
1. Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, то AB = CD. Пусть AB = x см, тогда CD = x см.
2. В равнобедренной трапеции, биссектриса угла между равными сторонами делит основание на две равные части. Поэтому AH = HC = x / 2 см.
3. Мы знаем, что угол A равен 45°. Из свойств прямоугольного треугольника находим BH = HC * tan(A) = (x / 2) * tan(45°).
4. Площадь треугольника BHC равна (1/2) * BH * HC. Подставляем значения и получаем S1 = (1/2) * (x / 2) * (x / 2) * tan(45°).
5. Площадь треугольника ABD равна (1/2) * AD * BH. Подставляем известные значения и получаем S2 = (1/2) * 12 см * ((x / 2) * tan(45°)).
6. Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников BHC и ABD: S = S1 + S2.
7. Заменяем значения S1 и S2 в формуле S: S = (1/2) * (x / 2) * (x / 2) * tan(45°) + (1/2) * 12 см * ((x / 2) * tan(45°)).
8. Упрощаем выражение, объединяя схожие члены и упрощая выражение для тангенса 45° (равный 1) :
S = (1/8) * x^2 + (3/2) * (x / 2) см.
9. Далее, упрощаем выражение и приводим подобные слагаемые:
S = (1/8) * x^2 + (3/4) * x см^2.
10. Таким образом, площадь трапеции ABCD равна (1/8) * x^2 + (3/4) * x см^2.