Для того чтобы провести касательную к данной кривой через точку A (1;-1), нам нужно найти уравнение этой касательной.
Шаги решения:
1. Найдем производную от уравнения кривой, используя правило дифференцирования для выражения второй степени:
dy/dx = (-8x – 4y – 6) / (8y + 4x + 6)
2. Подставим координаты точки A в полученное уравнение, чтобы найти значение производной в этой точке:
dy/dx = (-8 * 1 – 4 * (-1) – 6) / (8 * (-1) + 4 * 1 + 6) = (-14) / (-2) = 7
3. Так как производная dy/dx в точке A равна 7, уравнение касательной в точке A имеет вид:
y = 7x + c, где c – оставшаяся неизвестная константа.
4. Подставим координаты точки A в уравнение касательной, чтобы найти значение константы c:
-1 = 7 * 1 + c
c = -8
5. Таким образом, уравнение касательной к кривой в точке A имеет вид:
y = 7x – 8.
Ответ: Уравнение касательной к кривой y: 4x^2 + 4xy + y^2 + 8x + 6y + 3 = 0 в точке A(1;-1) равно y = 7x – 8.