Дана система уравнений:
1) x^2 = 3y
2) 2xy = 9z
Для начала найдём точки пересечения кривой с осями координат. Для этого подставим x=0, y=0 и z=0 в систему уравнений.
1) (0)^2 = 3(0) => 0 = 0, следовательно, точка пересечения с осью x – (0, 0, 0).
2) 2(0)(0) = 9(0) => 0 = 0, следовательно, точка пересечения с осью z – (0, 0, 0).
3) (x)^2 = 3(0) => x^2 = 0 => x = 0, следовательно, точка пересечения с осью y – (0, 0, 0).
Таким образом, точка пересечения кривой с осями координат – (0, 0, 0).
Перейдем к нахождению параметрического уравнения кривой. Возьмем уравнение 1) и выразим из него y:
y = x^2/3.
Подставим это значение в уравнение 2), чтобы избавиться от переменной y:
2x(x^2/3) = 9z
2x^3/3 = 9z
x^3 = 27z/2
x = (27z/2)^(1/3) – (1)
Теперь, используя уравнение 1), выразим z через x:
x^2/3 = 3y
y = x^2/9
Подставим это значение в уравнение 2), чтобы избавиться от переменной y:
2x(x^2/9) = 9z
2x^3/9 = 9z
x^3 = 81z/4
x = (81z/4)^(1/3) – (2)
Таким образом, получаем параметрическое уравнение кривой:
x = (27z/2)^(1/3)
y = x^2/9
z = z
Производные:
dx/dz = ((27z/2)^(1/3))’
dy/dz = ((27z/2)^(1/3))^2/9
dz/dz = 1
Найдем касательный вектор T к кривой в точке, заданной параметром z. Для этого найдем производную по z:
(T) = (dx/dz, dy/dz, dz/dz)
Составим уравнение для касательной плоскости в точке кривой:
(T) * (P) = |dx/dz, dy/dz, dz/dz| * |x – x_0, y – y_0, z – z_0| = 0,
где (P) = (x – x_0, y – y_0, z – z_0) – вектор, задающий отклонение от точки касания касательной плоскости.
Подставим значения производных и параметрические уравнения кривой в уравнение касательной плоскости:
((27z/2)^(1/3)) * x – (1,0,1) * ((9/2z^2)^1/3/9) * z – z = 0.
Умножим уравнение на (27z/2)^(1/3), чтобы устранить знаменатель перед последним слагаемым:
27z/2 * x – (1,0,1) * ((9/2z^2)^1/3) * z – (27z/2)^(1/3) * z = 0.
Упростим уравнение, выразив каждое слагаемое в виде произведения корня истинной суммы:
27z/2 * x – z * (27/2z^2)^(1/3) – z * (27z/2)^(1/3) = 0.
Сгруппируем слагаемые:
x * (27z/2)^(2/3) – 2 * z * (27/2z^2)^(1/3) = z * (27z/2)^(1/3).
(27z/2)^(2/3) – 2 * (27/2z^2)^(1/3) = (27z/2)^(1/3).
Таким образом, касательная плоскость в любой точке кривой образует постоянный угол Фи0 с вектором p(1;0;1), а угол Фи0 можно найти из уравнения:
(27z/2)^(2/3) – 2 * (27/2z^2)^(1/3) – (27z/2)^(1/3) = 0.
Данное уравнение нелинейно и его решение требует использования численных методов.