Для нахождения уравнений касательной и нормали к данной кривой в точке (x0, y0), нам нужно найти производные уравнения кривой и использовать их для записи уравнений касательной и нормали.
Давайте найдем производную данной функции y=(1+√x)/(1-√x).
1. Для начала, найдем производную функции y по x с помощью правила дифференцирования композиции функций:
dy/dx = ((1-√x)*(d(1+√x)/dx) – (1+√x)*(d(1-√x)/dx)) / (1-√x)^2
= ((1-√x)*(1/2√x) – (1+√x)*(-1/2√x)) / (1-√x)^2
= (1-√x)/(2√x(1-√x)) + (1+√x)/(2√x(1-√x))
= 2/(2√x(1-√x))
= 1/(√x(1-√x))
2. Теперь, чтобы найти уравнение касательной к кривой в точке (x0, y0), мы можем использовать формулу касательной:
y – y0 = dy/dx * (x – x0)
Подставляем значения x0=4 и y0=(1+√4)/(1-√4) в уравнение:
y – (1+√4)/(1-√4) = 1/(√x(1-√x)) * (x – 4)
Упрощаем:
y – (1+2)/(1-2) = (x – 4)/(√x(1-√x))
y + 3 = (x – 4)/(√x(1-√x))
Получаем уравнение касательной к кривой в точке (4, (1+√4)/(1-√4)).
3. Чтобы найти уравнение нормали к кривой, мы можем использовать формулу нормали:
y – y0 = -1/dy/dx * (x – x0)
Подставляем значения x0=4 и y0=(1+√4)/(1-√4) в уравнение:
y – (1+√4)/(1-√4) = -1/(1/(√x(1-√x))) * (x – 4)
= -√x(1-√x) * (x – 4)
Упрощаем:
y – (1+2)/(1-2) = -√x(1-√x) * (x – 4)
y + 3 = -√x(1-√x) * (x – 4)
Получаем уравнение нормали к кривой в точке (4, (1+√4)/(1-√4)).
Таким образом, уравнение касательной к данной кривой в точке (4, (1+√4)/(1-√4)) будет y + 3 = (x – 4)/(√x(1-√x)), а уравнение нормали будет y + 3 = -√x(1-√x) * (x – 4).