Шаги решения:
1. Найдем значения функции z в точке M(1,1).
Подставим значения x=1 и y=1 в уравнение поверхности z=x^2+y^2:
z = 1^2 + 1^2 = 2.
2. Найдем частные производные функции z=x^2+y^2 по переменным x и y.
dz/dx = 2x
dz/dy = 2y.
3. Подставим координаты точки M(1,1) в частные производные, чтобы получить значения этих производных в точке M.
dz/dx в точке M(1,1) = 2*1 = 2
dz/dy в точке M(1,1) = 2*1 = 2.
4. Уравнение касательной плоскости в точке M имеет вид:
z – z0 = (dz/dx)(x – x0) + (dz/dy)(y – y0),
где (x0, y0, z0) – координаты точки M.
Подставим координаты точки M(1,1) и значения частных производных в уравнение:
z – 2 = 2(x – 1) + 2(y – 1),
z – 2 = 2x – 2 + 2y – 2,
z = 2x + 2y – 2.
Таким образом, уравнение касательной плоскости в точке M(1,1) имеет вид:
z = 2x + 2y – 2.
5. Уравнение нормали к поверхности в точке M можно записать в виде:
(x – x0)/(dz/dx) = (y – y0)/(dz/dy) = (z – z0)/(-1),
где (x0, y0, z0) – координаты точки M.
Подставим значения координат точки M(1,1) и значения частных производных в уравнение:
(x – 1)/2 = (y – 1)/2 = (z – 2)/(-1).
Таким образом, уравнение нормали к поверхности в точке M(1,1) имеет вид:
(x – 1)/2 = (y – 1)/2 = -(z – 2).
Окончательно, уравнение касательной плоскости в точке M(1,1) – z = 2x + 2y – 2, а уравнение нормали – (x – 1)/2 = (y – 1)/2 = -(z – 2).