а) Уравнение поверхности: z = f(x, y) = x^2 – 3*y^2
1. Найдем частные производные функции f(x, y) по x и y:
f_x = 2*x, f_y = -6*y
2. Найдем значение производных в точке М0(0, 1, -3):
f_x(0, 1) = 2*0 = 0
f_y(0, 1) = -6*1 = -6
3. Теперь напишем уравнение плоскости касательной к поверхности в точке М0(0, 1, -3):
z – z0 = f_x(М0)*(x – x0) + f_y(М0)*(y – y0)
где x0 = 0, y0 = 1, z0 = f(М0) = f(0, 1) = 0^2 – 3*1^2 = -3
Подставляем значения:
z – (-3) = 0*(x – 0) + (-6)*(y – 1)
z + 3 = -6y + 6
z = -6y + 3 – 3
z = -6y
Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности z = x^2 – 3*y^2 в точке М0(0, 1, -3) будет z = -6y.
б) Уравнение поверхности: F(x, y, z) = 0, x*y – y*z + x*z = 1
1. Найдем частные производные функции F(x, y, z) по x, y и z:
F_x = y + z, F_y = x – z, F_z = -y + x
2. Найдем значение производных в точке М0(1, 1, 2):
F_x(1, 1, 2) = 1 + 2 = 3
F_y(1, 1, 2) = 1 – 2 = -1
F_z(1, 1, 2) = -1 + 1 = 0
3. Теперь напишем уравнение плоскости нормали к поверхности в точке М0(1, 1, 2):
F_x(М0)*(x – x0) + F_y(М0)*(y – y0) + F_z(М0)*(z – z0) = 0
где x0 = 1, y0 = 1, z0 = 2
Подставляем значения:
3*(x – 1) – (y – 1) + 0*(z – 2) = 0
3x – 3 – y + 1 = 0
3x – y – 2 = 0
Таким образом, уравнение нормали к поверхности x*y – y*z + x*z = 1 в точке М0(1, 1, 2) будет 3x – y – 2 = 0.