Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Так как дано, что окружность касается сторон AB и AC, то точка касания окружности с стороной AB, обозначим ее P, делит сторону AB на два отрезка AP и PB, причем AP = PB. Аналогично для стороны AC, точка касания окружности с стороной AC, обозначим ее Q, делит сторону AC на два отрезка AQ и QC, причем AQ = QC.
Так как точка D лежит на описанной окружности, то угол DAP = углу DBP и угол DAQ = углу DCQ. Также, так как угол СAD = углу АBD, то углы DAC и BDA равны между собой.
Пусть x = угол DАB = угол СDA = угол BDA, тогда угол CAD = угол CDA = угол BDA = x.
Из прямоугольного треугольника АДР можно записать:
tan(x) = DP / AP = AD / AP
Из прямоугольного треугольника АДQ можно записать:
tan(2x) = DQ / (AQ + AD)
Так как AQ = QC, то AQ + AD = AP, и можно записать:
tan(2x) = DQ / AP
Подставим DQ = DP + PQ, где DP = 1 и PQ = √7:
tan(2x) = (1 + √7) / AP
Также, из треугольника АВР можно записать:
tan(x) = DP / AP = 1 / AP
Подставим эти значения в предыдущее уравнение и получим:
tan(2x) = (1 + √7) / (1 / tan(x))
Раскроем тангенс двойного угла:
2tan(x) / (1 – tan^2(x)) = (1 + √7) / (1 / tan(x))
Решим данное уравнение методом замены переменной. Пусть tan(x) = t, тогда получим:
2t / (1 – t^2) = (1 + √7) / (1 / t)
Перемножим обе части уравнения на (1 – t^2):
2t = (1 + √7) * (1 – t^2) / t
Упростим уравнение и получим квадратное уравнение:
2t = (1 + √7) – (1 + √7)t^2 / t
2t = (1 + √7) – (1 + √7)t
Объединим подобные члены:
2t^2 – (1 + √7)t + (1 + √7) = 0
Решим полученное квадратное уравнение с помощью квадратного корня или квадратного дополнения. Найдем корни уравнения:
t1 = (1 + √7 + √(32 + 8√7)) / 4
t2 = (1 + √7 – √(32 + 8√7)) / 4
Поскольку t = tan(x), а угол x – это угол АDB (или DАB), мы можем найти два значения угла DАB, подставив найденные значения t1 и t2 в функцию арктангенса (или тангенса). Таким образом, у нас два возможных значения угла DАB.