Дана трапеция ABCD c углами A и D при основании AD, равными  60 и  45 соответственно. Биссектрисы углов В и С пересекаются в точке M. Найдите отношение площадей треугольников АВМ и CDM.

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрис треугольника.

1. Вначале рассмотрим треугольник ABM. Углы B и M являются смежными и дополнительными к углам A и B в трапеции ABCD. Таким образом, можно сказать, что угол ABM равен 180 – 60 = 120 градусов.

2. Аналогично, рассмотрим треугольник CDM. Углы C и M являются смежными и дополнительными к углам C и D в трапеции ABCD. Таким образом, угол CDM равен 180 – 45 = 135 градусов.

3. Заметим, что треугольники ABM и CDM имеют общую боковую сторону AM и общую высоту относительно этой стороны (т.е. линию, проведенную из точки M перпендикулярно к стороне AM).

4. Поскольку AM является биссектрисой треугольника ABC, она делит его на два треугольника ABM и CDM в соотношении сторон AD/DC (по свойству биссектрисы).

5. Из геометрических соображений известно, что AD/DC = tan(BDM)/tan(ADM), где BDM – половина угла BDM, ADM – половина угла ADM.

6. Поскольку угол ABM равен 120 градусам, угол ADM будет равен 60 градусам. Аналогично, угол CDM равен 135 градусам.

7. Подставляя значения углов в формулу, получим AD/DC = tan(45)/tan(60) = 1/sqrt(3).

8. Таким образом, площадь треугольника ABM к площади треугольника CDM равно AD/DC = 1/sqrt(3).

Ответ: отношение площадей треугольников АВМ и CDM равно 1/sqrt(3).