Для решения этой задачи можно использовать два ключевых факта:
1) Если в треугольнике две стороны равны, а угол между ними равен 90 градусам, то треугольник является прямоугольным.
2) Если в треугольнике биссектриса делит угол пополам, то отношение длин сегментов, на которые она делит противолежащую сторону, равно отношению длин оставшихся двух сторон треугольника.
Шаги решения:
1) Заметим, что треугольник ABC равнобедренный, так как AB=BC.
2) Поскольку AB=BC, то угол ABC равен 90 градусам.
3) Также из условия задачи следует, что AM=MC.
4) Рассмотрим биссектрису угла BAC. Обозначим точку пересечения биссектрисы с отрезком BC как D.
5) По свойству биссектрисы отношение BD / DC равно отношению BA / AC.
6) У нас уже есть равенство длин BA и BC, поэтому BA / AC = BC / AC = 1.
7) Значит, BD / DC = 1.
8) Так как AM=MC, то точка M является серединой отрезка CD, а значит отрезок DM также делится пополам.
9) Поскольку BM является медианой треугольника BCD, и точка M делит отрезок CD пополам, то BM также является высотой треугольника BCD.
10) Значит, угол BDM равен 90 градусам.
11) Следовательно, AC перпендикулярна плоскости BDM.
Таким образом, мы доказали, что AC перпендикулярна плоскости BDM.