Для решения этой задачи мы можем использовать свойства прямоугольника и теорему о сходстве треугольников.
Шаги решения:
1. Пусть стороны прямоугольника равны a и b, а диагональ равна d.
2. Мы знаем, что диагональ прямоугольника делит угол пропорционально его сторонам. Значит, пропорция будет следующей: 5/13 = a/d.
3. Решим эту пропорцию относительно a: a = (5/13) * d.
4. Мы также знаем, что диагонали прямоугольника делят друг друга пополам. Значит, длины диагоналей должны быть равными: d1 = d2 = d/2.
5. По теореме о сходстве треугольников, между меньшим углом и соответствующим углом треугольника, сходящегося в вершине между диагоналями, справедлива пропорция: a/b = a/d1.
6. Подставим значение a из шага 3 и получим новую пропорцию: (5/13) * d / b = (5/13) * d / (d/2).
7. Сократим длину диагонали d и получим: (5/13) / b = 1/2.
8. Решим эту пропорцию относительно b: b = (13/10).
9. Теперь мы можем найти меньший угол между диагоналями, используя тангенс: tan(угол) = a/b = [(5/13) * d] / [(13/10)].
10. Упростим выражение и получим: tan(угол) = (1/2).
11. Найдем арктангенс от (1/2) и получим значение угла: угол = arctan(1/2).
12. Подставим значение угла в калькулятор и получим приближенное значение: угол ≈ 26.565 градусов.
Таким образом, меньший угол между диагоналями прямоугольника равен приблизительно 26.565 градусов.