Для доказательства данной теоремы используем метод математической индукции.
1. Базовый шаг:
Пусть дана ломаная P с единственным отрезком, соединяющим ее концы. Тогда очевидно, что длина этой ломаной равна длине отрезка.
2. Шаг индукции:
Предположим, что теорема верна для ломаных длиной n. Докажем, что она верна и для ломаных длиной n+1.
Рассмотрим ломаную Q, длина которой равна n+1. У неё есть две вершины, которые мы обозначим как A и B. Мы можем разбить ломаную Q на две части: ломаную P, длиной n, и отрезок AB. Используя предположение индукции, мы знаем, что длина ломаной P не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы. Обозначим эту длину как L.
Теперь рассмотрим длину отрезка AB. Обозначим ее как M. Поскольку AB является одним из отрезков ломаной Q, мы знаем, что M не превосходит длины ломаной Q. Значит, M не превосходит n+1.
Итак, имеем L ≤ n и M ≤ n+1. Тогда сумма L и M не превосходит L + n + 1, то есть L + M ≤ n + n + 1 = 2n + 1.
Но L + M – это длина ломаной Q. Таким образом, мы показали, что длина любой ломаной длиной n+1 не меньше 2n+1.
3. Заключение:
Мы показали, что если теорема верна для ломаных длиной n, то она верна и для ломаных длиной n+1. Таким образом, по принципу математической индукции, теорема верна для любой длины ломаной.