Задача 1:
Известно, что одна сторона прямоугольника длиной 5 см отложена на оси Ох, а вторая сторона образует с осью Ох угол 45 градусов. Найдите уравнение ломаной, состоящей из линий Ох и Оу и образовавшей стороны прямоугольника.
Решение:
1) Обозначим A и B вершины прямоугольника.
2) Так как сторона АВ прямоугольника параллельна оси Ох, то ее уравнение имеет вид: y = kx + b, где k – коэффициент наклона, b – свободный член.
3) Для определения коэффициента наклона прямой АВ найдем тангенс угла α между стороной АВ и осью Ох:
tan α = AB / OA = AB / 5, где ОА = 5 см.
Так как tan α = tg α = k, то k = AB / 5.
4) Найдем свободный член b. Из условия задачи известно, что сторона АВ прямоугольника образует с осью Ох угол 45 градусов. Это значит, что точка B (на ломаной) имеет координаты (x, y), где x = y, поскольку в прямоугольном треугольнике катеты равны. Подставим эти значения в уравнение линии Ох:
y = kx + b,
y = k * y + b,
y – ky = b,
y(1 – k) = b,
5) Заменим k на AB / 5 в последнем уравнении и получим:
y(1 – AB / 5) = b,
y = b / (1 – AB / 5).
6) Таким образом, уравнение ломаной имеет вид:
y = (AB / 5)x + b / (1 – AB / 5).
Задача 2:
На числовой оси даны точки A(-3, 2), B(0, 0), C(4, -3), D(9, 2). Составьте уравнение ломаной ABDC.
Решение:
1) Найдем уравнения отрезков AB, BC, CD, а затем объединим их в общее уравнение ломаной ABDC.
2) Уравнение прямой через точки A и B имеет вид:
y = kx + b,
где k – коэффициент наклона, b – свободный член.
Найдем k и b, подставив координаты точек A и B в уравнение:
2 = k * (-3) + b,
0 = k * 0 + b.
Отсюда получаем b = 0 и k = 2 / (-3) = -2/3.
Таким образом, уравнение прямой AB: y = (-2/3)x.
3) Аналогично, для уравнений BC, CD найдем коэффициенты наклона и свободные члены:
Для BC: y = kx + b, k = (-3 – 0) / (4 – 0) = -3/4, b = 2.
Таким образом, уравнение прямой BC: y = (-3/4)x + 2.
Для CD: y = kx + b, k = (2 – (-3)) / (9 – 4) = 1/5, b = (2 + 3) – (1/5)(9 + 4) = 19/5.
Таким образом, уравнение прямой CD: y = (1/5)x + 19/5.
4) Объединим уравнения линий AB, BC, CD в общее уравнение ломаной ABDC:
y1 = (-2/3)x, (-3 ≤ x ≤ 0),
y2 = (-3/4)x + 2, (0 ≤ x ≤ 4),
y3 = (1/5)x + 19/5, (4 ≤ x ≤ 9).
Таким образом, уравнение ломаной ABDC представляет собой систему уравнений для указанных отрезков. Уравнения ломаной описывают ее форму на заданных интервалах.