Предположим, что треугольник ABC имеет медиану AM, с такими свойствами, что она является его высотой.
Предположим, что треугольник ABC не является равнобедренным. Это означает, что все его стороны имеют разные длины, и мы можем назвать их a, b и c, где a > b > c.
Мы знаем, что медиана AM делит сторону BC пополам и перпендикулярна ей. Пусть точка O будет серединой стороны BC и H будет основанием высоты AM.
Так как AM является медианой и высотой треугольника, то она делит треугольник на два равных треугольника: ABM и ACM.
Из равенства треугольников ABM и ACM следует, что у них равны соответствующие стороны AM и AM, а также углы при вершине A. Тогда их высоты BH и CH также равны.
Так как MO является средней линией треугольника, то MO = 1/2 OC и MOH = 1/2 OCH.
Но также мы знаем, что в треугольнике BCH высота BH больше половины основания CH, так как треугольник ABC не является равнобедренным.
Это противоречие говорит о том, что наше предположение о треугольнике ABC было неверным. Таким образом, мы можем сделать вывод, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник обязательно равнобедренный.