Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M так что угол AMC = 40°. Градусная мера дуги AD на 20° больше градусной меры дуги BC. Найдите градусную меру дуги AD.

Построим схему задачи. Пусть O – центр окружности, AB и CD – хорды, пересекающиеся в точке M. Обозначим градусную меру дуги AD через x, а градусную меру дуги BC через y. Также обозначим угол AMC через α.

Так как угол на окружности соответствует половине дуги, то градусная мера дуги AD на 20° больше градусной меры дуги BC можно записать следующим образом:
x = y + 20°. (1)

Угол, образованный хордой и касательной в точке пересечения, равен половине дуги, которую эта хорда дополняет.
Таким образом, угол AMC равен половине градусной меры дуги AC (AM и CM – радиусы, поэтому равны).
То есть, α = 1/2 * (x + y). (2)

Так как угол внутри треугольника AMC равен сумме углов противолежащих сторон, имеем следующее равенство:
180° = α + 40° + α.
Упростим это равенство:
2α + 40° = 180°,
2α = 180° – 40°,
2α = 140°,
α = 70°.

Подставим значение α в уравнение (2) и найдем x и y:
70° = 1/2 * (x + y),
x + y = 140°. (3)

Теперь подставим выражение для y из уравнения (3) в уравнение (1):
x = (x + y) – 20°,
x = 140° – 20°,
x = 120°.

Таким образом, градусная мера дуги AD равна 120°.