Для решения задачи найдем середину отрезка CD, которая будет точкой равноудаленной от точек C(1;1) и D(3,5).
Шаг 1: Найдем координаты середины отрезка CD.
Середина отрезка CD будет иметь координаты равные средним значениям соответствующих координат точек C и D.
x-координата середины отрезка CD: (1 + 3) / 2 = 2
y-координата середины отрезка CD: (1 + 5) / 2 = 3
Таким образом, серединой отрезка CD является точка М(2;3).
Шаг 2: Найдем уравнение прямой, которая проходит через точки C и D.
Используем формулу для нахождения уравнения прямой через две точки: y − y1 = m(x − x1), где m – это угловой коэффициент прямой, а (x1,y1) – координаты одной из точек на этой прямой.
m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (5 – 1) / (3 – 1) = 4 / 2 = 2
Подставим координаты C(1;1) в уравнение:
y – 1 = 2(x – 1)
Упростим уравнение:
y – 1 = 2x – 2
Шаг 3: Найдем уравнение прямой, перпендикулярной CD и проходящей через точку M.
Перпендикулярные прямые имеют угловые коэффициенты, являющиеся отрицательными обратными значениями друг друга. То есть, если m1 – угловой коэффициент прямой, то m2 – угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен -1/m1.
Так как угловой коэффициент прямой CD равен 2, угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен -1/2.
Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой будет иметь вид:
y – 3 = (-1/2)(x – 2)
Упростим уравнение:
y – 3 = -1/2x + 1
Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой будет y = -1/2x + 4.
Шаг 4: Найдем точку пересечения двух прямых.
Решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой CD и уравнения перпендикулярной прямой:
2x – y + 1 = 0
-y + 1/2x – 4 = 0
Решая эту систему, найдем x-координату точки пересечения:
2x – y + 1 = -y + 1/2x – 4
2x + 4 = 1/2x
Упростим уравнение:
4x + 8 = x
3x = -8
x = -8/3
Подставим значение x в одно из уравнений:
2(-8/3) – y + 1 = 0
-16/3 – y + 1 = 0
-y – 16/3 + 3/3 = 0
-y – 16/3 + 3/3 = 0
-y – 13/3 = 0
-y = 13/3
y = -13/3
Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты (-8/3;-13/3).
Ответ: Искомая точка, равноудаленная от точек C(1;1) и D(3,5), имеет координаты (-8/3;-13/3).