а) Для доказательства того, что плоскость DPQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды, достаточно показать, что вектор DP перпендикулярен этой плоскости.
Пусть вектор DP = d, вектор DQ = q, вектор DA = a и вектор DB = b. Тогда вектор DQ = a/3, так как AQ : QB = 1 : 2. Вектор a, b и d образуют плоскость основания, поэтому её нормальный вектор равен их векторному произведению: n = a × b.
Плоскость DPQ перпендикулярна вектору d, поэтому её нормальный вектор должен быть компланарен с векторами d и q, то есть n × d = 0 и n × q = 0. Это означает, что векторы a × b × d = 0 и a × b × q = 0. Из этого следует, что (a × b) × d = 0, то есть вектор d перпендикулярен плоскости основания, что и требовалось доказать.
б) Площадь сечения DPQ равна проекции площади сечения DSB на плоскость DPQ. Пусть площадь сечения DSB равна S. Так как DP перпендикулярен плоскости основания, то DP параллелен DS, и их площади сечений пропорциональны: S(DPQ) = S(DSB) * DP / DS = 18 * DP / DS.
Так как P – середина ребра AS, то DP = PA = 0.5 * AS. Пусть S(ABC) – площадь основания пирамиды ABCD. Площадь сечения DSB равна S(ABC) – S(ASB), так как ASB является треугольником, который содержит в себе сечение DSB. Заметим, что треугольники DSQ и BCQ подобны, так как углы DSQ и BCQ прямые, и соотношение длин сторон равно AQ : QB = 1 : 2.
Пусть S(ABC) = S0, тогда S(ASB) = S0 – S, а S(DSB) = S – S0/4. Отсюда получаем, что S(DPQ) = 18 * DP / DS = (18 * 0.5 * AS) / DS = (18 * 0.5 * (2 * S – S0)/4) / DS = (3 * (2 * S – S0)) / (4 * DS), что и является искомой площадью.