Для доказательства перпендикулярности прямой ОМ к плоскости АВС, необходимо показать, что вектор, перпендикулярный ОМ, также перпендикулярен к плоскости АВС.
Рассмотрим векторы АС и АО. Обозначим их через u и v соответственно. Поскольку А, В, С и Д лежат на одной плоскости, векторное произведение векторов АС и АО равно нулю:
u × v = 0.
Далее, заметим, что вектор ОМ будет коллинеарен вектору u:
OM = k · u,
где k – некоторое число.
Так как векторное произведение равно нулю, мы имеем:
k · (u × v) = 0.
Так как v ≠ 0 (поскольку О и М не совпадают), то получаем:
k = 0.
То есть вектор ОМ равен нулю или, другими словами, О и М совпадают.
Таким образом, прямая ОМ лежит в плоскости АВС и, следовательно, перпендикулярна к ней.