Для доказательства параллельности плоскостей EFK и ABC воспользуемся условием построения: DE/DA = DF/DB = DK/DC. Обозначим эти отношения за k.
Рассмотрим векторы DE, DF и DK. По условию задачи они пропорциональны векторам DA, DB и DC соответственно. То есть, если вектор DA обозначить за a, вектор DB за b и вектор DC за c, то можно записать:
DE = ka,
DF = kb,
DK = kc.
Также, по условию имеем:
DE/DA = DF/DB = DK/DC = k.
Из этих равенств можно выразить векторы DA, DB и DC через векторы DE, DF и DK:
DA = DE/k,
DB = DF/k,
DC = DK/k.
Рассмотрим теперь плоскости EFK и ABC. Они задаются нормальными векторами, которые плоскости этих векторов на плоскости EFK и ABC параллельны.
Найдем нормальные векторы этих плоскостей. В плоскости EFK вектор DE и вектор DF лежат в плоскости, поэтому векторное произведение DE × DF будет нормальным вектором плоскости EFK. Аналогично, в плоскости ABC векторы DA и DB лежат в плоскости, поэтому векторное произведение DA × DB будет нормальным вектором плоскости ABC.
DE × DF = k(a × b),
DA × DB = (DE/k) × (DF/k) = (a × b)/k^2.
Так как DE × DF и DA × DB пропорциональны, то пропорциональны также и их координаты:
k(a × b) = (a × b)/k^2.
Это равенство можно переписать в виде:
k^3(a × b) = a × b.
Так как a × b ≠ 0 (так как векторы a и b не лежат в одной плоскости), то равенство k^3 = 1.
Из условия DE/DA = DF/DB = DK/DC = k следует, что k ≠ 0.
Корень из куба из 1 возможно только равняться 1 или -1. Так как k ≠ 0, то имеем только один возможный вариант: k = 1.
Таким образом, мы получили, что векторное произведение DE × DF и DA × DB пропорциональны, и соответствующие нормальные векторы плоскостей EFK и ABC имеют одинаковое направление. Значит, плоскости EFK и ABC параллельны.