Для нахождения скалярного произведения векторов m и n, мы должны умножить соответствующие координаты этих векторов и сложить полученные произведения.
Пусть вектор x = (x₁, x₂, x₃), вектор y = (y₁, y₂, y₃), вектор z = (z₁, z₂, z₃). Так как z перпендикулярно y, то скалярное произведение xz = yz = 0.
Запишем векторы m и n используя векторы x, y, z:
m = x – y + z = (x₁, x₂, x₃) – (y₁, y₂, y₃) + (z₁, z₂, z₃) = (x₁ – y₁ + z₁, x₂ – y₂ + z₂, x₃ – y₃ + z₃)
n = x – y = (x₁, x₂, x₃) – (y₁, y₂, y₃) = (x₁ – y₁, x₂ – y₂, x₃ – y₃)
Теперь вычислим скалярное произведение m и n.
m * n = (x₁ – y₁ + z₁)(x₁ – y₁) + (x₂ – y₂ + z₂)(x₂ – y₂) + (x₃ – y₃ + z₃)(x₃ – y₃)
= (x₁² – x₁y₁ – x₁y₁ + y₁² + x₁z₁ – x₁y₁ + z₁y₁ + x₁z₁ + z₁² – z₁y₁) +
(x₂² – x₂y₂ – x₂y₂ + y₂² + x₂z₂ – x₂y₂ + z₂y₂ + x₂z₂ + z₂² – z₂y₂) +
(x₃² – x₃y₃ – x₃y₃ + y₃² + x₃z₃ – x₃y₃ + z₃y₃ + x₃z₃ + z₃² – z₃y₃)
= (x₁² + y₁² + z₁²) + (x₂² + y₂² + z₂²) + (x₃² + y₃² + z₃²)
– 2(x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃)
Известно, что |x| = 3, |y| = 6, |z| = 8. Мы также знаем, что xy = 120, что означает, что скалярное произведение между векторами x и y равно 120.
Тогда мы можем записать:
120 = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃
Вернемся к формуле для скалярного произведения m и n:
m * n = (x₁² + y₁² + z₁²) + (x₂² + y₂² + z₂²) + (x₃² + y₃² + z₃²) – 2(x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃)
Подставим x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃ = 120 в эту формулу:
m * n = (x₁² + y₁² + z₁²) + (x₂² + y₂² + z₂²) + (x₃² + y₃² + z₃²) – 2(120)
Теперь остается вычислить значения x₁² + y₁² + z₁², x₂² + y₂² + z₂², x₃² + y₃² + z₃² и подставить полученные значения в формулу.
Шаги решения:
1. Вычислить |x| = 3, |y| = 6, |z| = 8.
2. Используя формулу xy = 120, вычислить x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃.
3. Вычислить значения x₁² + y₁² + z₁², x₂² + y₂² + z₂², x₃² + y₃² + z₃².
4. Подставить значения из пункта 3 и значение из пункта 2 в формулу m * n = (x₁² + y₁² + z₁²) + (x₂² + y₂² + z₂²) + (x₃² + y₃² + z₃²) – 2(120).
5. Вычислить скалярное произведение m и n.