Для плоскости ax + by + cz + d = 0, чтобы проходила через прямую, параллельную прямой, необходимы два условия:
1) Вектор нормали плоскости должен быть параллелен вектору направления прямой.
2) Любая точка прямой должна лежать на плоскости.
Для прямой x – x1 / l1 = y – y1 / m1 = z – z1 / n1, где (x1, y1, z1) – точка на прямой, (l1, m1, n1) – координаты вектора направления прямой, и прямой x – x2 / l2 = y – y2 / m2 = z – z2 / n2, где (x2, y2, z2) – другая точка на прямой, (l2, m2, n2) – координаты вектора направления прямой, условия плоскости, проходящей через прямую, будут следующими:
1) Коэффициенты a, b и c, задающие вектор нормали плоскости, должны быть пропорциональны коэффициентам l1, m1 и n1, задающим вектор направления прямой. Это можно записать в виде:
a/l1 = b/m1 = c/n1
2) Точка (x1, y1, z1) должна удовлетворять уравнению плоскости. Подставляя координаты этой точки в уравнение плоскости, получаем:
ax1 + by1 + cz1 + d = 0
3) Аналогично, точка (x2, y2, z2) также должна удовлетворять уравнению плоскости:
ax2 + by2 + cz2 + d = 0
Если все эти условия выполняются, то плоскость ax + by + cz + d = 0 будет проходить через прямую, параллельную прямой.