Чтобы найти все первообразные функции F(x) для данной функции f(x), мы должны найти такие функции, производная которых равна данной функции f(x).
Сначала найдем производную функции f(x). Для этого применим правила дифференцирования к каждому слагаемому в функции f(x):
f(x) = 3 + 3/x^3 + 4x^2 – 5
f'(x) = 0 + (-9)/(x^4) + 8x
Теперь у нас есть производная функции f(x), и мы хотим найти такую функцию F(x), производная которой равна f'(x). Для этого нужно интегрировать f'(x).
Интегрируем каждое слагаемое f'(x):
∫f'(x) dx = ∫((-9)/(x^4) + 8x) dx
= 9/(3x^3) + 4x^2
Таким образом, одной первообразной функции F(x) является:
F(x) = 9/(3x^3) + 4x^2
Однако, не забывайте, что интеграл имеет постоянную поправку, так как при дифференцировании константа обращается в ноль. Поэтому нужно добавить “C” к выражению:
F(x) = 9/(3x^3) + 4x^2 + C
Где С – произвольная постоянная.
Итак, все первообразные функции F(x) для данной функции f(x) равны:
F(x) = 9/(3x^3) + 4x^2 + C, где С – произвольная константа.