Top.Mail.Ru
Категории задач
Решение интегралов Работа проверена: avrprog Время решения: 7 мин Сложность: 4.1

Дано

$$int_{0}^{1} cos^{6}{left (x right )}, dx$$
Подробное решение

  1. Перепишите подынтегральное выражение:

    cos^{6}{left (x right )} = left(frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right)^{3}

  2. Перепишите подынтегральное выражение:

    left(frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right)^{3} = frac{1}{8} cos^{3}{left (2 x right )} + frac{3}{8} cos^{2}{left (2 x right )} + frac{3}{8} cos{left (2 x right )} + frac{1}{8}

  3. Интегрируем почленно:

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{1}{8} cos^{3}{left (2 x right )}, dx = frac{1}{8} int cos^{3}{left (2 x right )}, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        cos^{3}{left (2 x right )} = left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 1right) cos{left (2 x right )}

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть
          u = sin{left (2 x right )}
          .

          Тогда пусть
          du = 2 cos{left (2 x right )} dx
          и подставим
          du
          :

          int – frac{u^{2}}{2} + frac{1}{2}, du

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int – frac{u^{2}}{2}, du = – frac{1}{2} int u^{2}, du

              1. Интеграл
                u^{n}
                есть
                frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                :

                int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              – frac{u^{3}}{6}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              int frac{1}{2}, du = frac{u}{2}

            Результат есть:
            – frac{u^{3}}{6} + frac{u}{2}
            $$

          Если сейчас заменить $$
          u
          ещё в:

          – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 1right) cos{left (2 x right )} = – sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} + cos{left (2 x right )}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int – sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}, dx = – int sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}, dx

            1. пусть
              u = sin{left (2 x right )}
              .

              Тогда пусть
              du = 2 cos{left (2 x right )} dx
              и подставим
              frac{du}{2}
              :

              int u^{2}, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                int u^{2}, du = frac{1}{2} int u^{2}, du

                1. Интеграл
                  u^{n}
                  есть
                  frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                  :

                  int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
                  $$

                Таким образом, результат будет: $$
                frac{u^{3}}{6}
                $$

              Если сейчас заменить $$
              u
              ещё в:

              frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )}
              $$

            Таким образом, результат будет: $$
            – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )}

          1. пусть
            u = 2 x
            .

            Тогда пусть
            du = 2 dx
            и подставим
            frac{du}{2}
            :

            int cos{left (u right )}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
              $$

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                $$
                int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              frac{1}{2} sin{left (u right )}
              $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

          Результат есть:
          – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

      Таким образом, результат будет:
      – frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{16} sin{left (2 x right )}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{3}{8} cos^{2}{left (2 x right )}, dx = frac{3}{8} int cos^{2}{left (2 x right )}, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        cos^{2}{left (2 x right )} = frac{1}{2} cos{left (4 x right )} + frac{1}{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int frac{1}{2} cos{left (4 x right )}, dx = frac{1}{2} int cos{left (4 x right )}, dx

          1. пусть
            u = 4 x
            .

            Тогда пусть
            du = 4 dx
            и подставим
            frac{du}{4}
            :

            int cos{left (u right )}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int cos{left (u right )}, du = frac{1}{4} int cos{left (u right )}, du
              $$

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                $$
                int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              frac{1}{4} sin{left (u right )}
              $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            frac{1}{4} sin{left (4 x right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{8} sin{left (4 x right )}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          int frac{1}{2}, dx = frac{x}{2}

        Результат есть:
        frac{x}{2} + frac{1}{8} sin{left (4 x right )}
        $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{3 x}{16} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{3}{8} cos{left (2 x right )}, dx = frac{3}{8} int cos{left (2 x right )}, dx

      1. пусть
        u = 2 x
        .

        Тогда пусть
        du = 2 dx
        и подставим
        frac{du}{2}
        :

        int cos{left (u right )}, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
          $$

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $$
            int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{2} sin{left (u right )}
          $$

        Если сейчас заменить $$
        u
        ещё в:

        frac{1}{2} sin{left (2 x right )}
        $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{3}{16} sin{left (2 x right )}

    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      int frac{1}{8}, dx = frac{x}{8}

    Результат есть:
    frac{5 x}{16} – frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{4} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )}

  4. Теперь упростить:

    frac{5 x}{16} + frac{15}{64} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )} + frac{1}{192} sin{left (6 x right )}
    $$

  5. Добавляем постоянную интегрирования:

    $$
    frac{5 x}{16} + frac{15}{64} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )} + frac{1}{192} sin{left (6 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

frac{5 x}{16} + frac{15}{64} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )} + frac{1}{192} sin{left (6 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ

1
/
| 5 3
| 6 5 cos (1)*sin(1) 5*cos(1)*sin(1) 5*cos (1)*sin(1)
| cos (x) dx = — + ————– + ————— + —————-
| 16 6 16 24
/
0

$${{9,sin 4-4,sin ^32+48,sin 2+60}over{192}}$$
Численный ответ

0.488686178391591

Ответ (Неопределённый)

/
| 3
| 6 sin (2*x) sin(2*x) 3*sin(4*x) 5*x
| cos (x) dx = C – ——— + ——– + ———- + —
| 48 4 64 16
/

$${{{{3,left({{sin left(4,xright)}over{2}}+2,xright)}over{
16}}+{{sin left(2,xright)-{{sin ^3left(2,xright)}over{3}}
}over{8}}+{{3,sin left(2,xright)}over{8}}+{{x}over{4}}
}over{2}}$$
   

Купить уже готовую работу

Подробнее
Интеграл (8-3x)cos5x
Решение задач, Высшая математика
Выполнил: user1504019
20
Интеграл dx/(x^4-x^2)
Решение задач, Высшая математика
Выполнил: user1504019
20

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут .

 

Также искали:

Интеграл (4*x+3)^10 (dx)

Интеграл (2-9*x)^6 (dx)

Интеграл sin(x)^(2)*cos(x)^(6) (dx)

Интеграл (cos(3*x)+sin(3*x))^2 (dx)

5.0
avrprog
Занимаюсь созданием сайтов, разработкой устройств на микроконтроллерах avr, пишу на языке Си. Пишу рефераты, контрольные работы, расчетные работы по электротехнике, электронике, радиотехнике, транспортным средствам,
Нанять автора
[metform form_id="1136"]