Дано

$$int_{0}^{1} cos^{6}{left (x right )}, dx$$
Подробное решение
  1. Перепишите подынтегральное выражение:

    cos^{6}{left (x right )} = left(frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right)^{3}

  2. Перепишите подынтегральное выражение:

    left(frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right)^{3} = frac{1}{8} cos^{3}{left (2 x right )} + frac{3}{8} cos^{2}{left (2 x right )} + frac{3}{8} cos{left (2 x right )} + frac{1}{8}

  3. Интегрируем почленно:

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{1}{8} cos^{3}{left (2 x right )}, dx = frac{1}{8} int cos^{3}{left (2 x right )}, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        cos^{3}{left (2 x right )} = left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 1right) cos{left (2 x right )}

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть
          u = sin{left (2 x right )}
          .

          Тогда пусть
          du = 2 cos{left (2 x right )} dx
          и подставим
          du
          :

          int – frac{u^{2}}{2} + frac{1}{2}, du

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int – frac{u^{2}}{2}, du = – frac{1}{2} int u^{2}, du

              1. Интеграл
                u^{n}
                есть
                frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                :

                int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              – frac{u^{3}}{6}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              int frac{1}{2}, du = frac{u}{2}

            Результат есть:
            – frac{u^{3}}{6} + frac{u}{2}
            $$

          Если сейчас заменить $$
          u
          ещё в:

          – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 1right) cos{left (2 x right )} = – sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} + cos{left (2 x right )}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int – sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}, dx = – int sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}, dx

            1. пусть
              u = sin{left (2 x right )}
              .

              Тогда пусть
              du = 2 cos{left (2 x right )} dx
              и подставим
              frac{du}{2}
              :

              int u^{2}, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                int u^{2}, du = frac{1}{2} int u^{2}, du

                1. Интеграл
                  u^{n}
                  есть
                  frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                  :

                  int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
                  $$

                Таким образом, результат будет: $$
                frac{u^{3}}{6}
                $$

              Если сейчас заменить $$
              u
              ещё в:

              frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )}
              $$

            Таким образом, результат будет: $$
            – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )}

          1. пусть
            u = 2 x
            .

            Тогда пусть
            du = 2 dx
            и подставим
            frac{du}{2}
            :

            int cos{left (u right )}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
              $$

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                $$
                int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              frac{1}{2} sin{left (u right )}
              $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

          Результат есть:
          – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

      Таким образом, результат будет:
      – frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{16} sin{left (2 x right )}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{3}{8} cos^{2}{left (2 x right )}, dx = frac{3}{8} int cos^{2}{left (2 x right )}, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        cos^{2}{left (2 x right )} = frac{1}{2} cos{left (4 x right )} + frac{1}{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int frac{1}{2} cos{left (4 x right )}, dx = frac{1}{2} int cos{left (4 x right )}, dx

          1. пусть
            u = 4 x
            .

            Тогда пусть
            du = 4 dx
            и подставим
            frac{du}{4}
            :

            int cos{left (u right )}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int cos{left (u right )}, du = frac{1}{4} int cos{left (u right )}, du
              $$

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                $$
                int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              frac{1}{4} sin{left (u right )}
              $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            frac{1}{4} sin{left (4 x right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{8} sin{left (4 x right )}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          int frac{1}{2}, dx = frac{x}{2}

        Результат есть:
        frac{x}{2} + frac{1}{8} sin{left (4 x right )}
        $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{3 x}{16} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{3}{8} cos{left (2 x right )}, dx = frac{3}{8} int cos{left (2 x right )}, dx

      1. пусть
        u = 2 x
        .

        Тогда пусть
        du = 2 dx
        и подставим
        frac{du}{2}
        :

        int cos{left (u right )}, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
          $$

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $$
            int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{2} sin{left (u right )}
          $$

        Если сейчас заменить $$
        u
        ещё в:

        frac{1}{2} sin{left (2 x right )}
        $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{3}{16} sin{left (2 x right )}

    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      int frac{1}{8}, dx = frac{x}{8}

    Результат есть:
    frac{5 x}{16} – frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{4} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )}

  4. Теперь упростить:

    frac{5 x}{16} + frac{15}{64} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )} + frac{1}{192} sin{left (6 x right )}
    $$

  5. Добавляем постоянную интегрирования:

    $$
    frac{5 x}{16} + frac{15}{64} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )} + frac{1}{192} sin{left (6 x right )}+ mathrm{constant}


Ответ:

frac{5 x}{16} + frac{15}{64} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )} + frac{1}{192} sin{left (6 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ

1
/
| 5 3
| 6 5 cos (1)*sin(1) 5*cos(1)*sin(1) 5*cos (1)*sin(1)
| cos (x) dx = — + ————– + ————— + —————-
| 16 6 16 24
/
0

$${{9,sin 4-4,sin ^32+48,sin 2+60}over{192}}$$
Численный ответ

0.488686178391591

Ответ (Неопределённый)

/
| 3
| 6 sin (2*x) sin(2*x) 3*sin(4*x) 5*x
| cos (x) dx = C – ——— + ——– + ———- + —
| 48 4 64 16
/

$${{{{3,left({{sin left(4,xright)}over{2}}+2,xright)}over{
16}}+{{sin left(2,xright)-{{sin ^3left(2,xright)}over{3}}
}over{8}}+{{3,sin left(2,xright)}over{8}}+{{x}over{4}}
}over{2}}$$
   

Выполненные готовые работы

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.

 
5.0
avrprog
Занимаюсь созданием сайтов, разработкой устройств на микроконтроллерах avr, пишу на языке Си. Пишу рефераты, контрольные работы, расчетные работы по электротехнике, электронике, радиотехнике, транспортным средствам,