Категории задач
Uchimatchast
About this Course HTML and CSS Are the Tools You Need to Build a Website Coding for beginners might seem hard. However, starting with the basics is a great way.
  • turitor@admin.com
  • +01145928421
Решение интегралов Работа проверена: avrprog Время решения: 7 мин Сложность: 4.1

На странице представлен фрагмент

Попробовать AI 🤖

Реши любую задачу с помощью нейросети.

Дано

$$int_{0}^{1} cos^{6}{left (x right )}, dx$$
Подробное решение

  1. Перепишите подынтегральное выражение:

    cos^{6}{left (x right )} = left(frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right)^{3}

  2. Перепишите подынтегральное выражение:

    left(frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}right)^{3} = frac{1}{8} cos^{3}{left (2 x right )} + frac{3}{8} cos^{2}{left (2 x right )} + frac{3}{8} cos{left (2 x right )} + frac{1}{8}

  3. Интегрируем почленно:

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{1}{8} cos^{3}{left (2 x right )}, dx = frac{1}{8} int cos^{3}{left (2 x right )}, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        cos^{3}{left (2 x right )} = left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 1right) cos{left (2 x right )}

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть
          u = sin{left (2 x right )}
          .

          Тогда пусть
          du = 2 cos{left (2 x right )} dx
          и подставим
          du
          :

          int – frac{u^{2}}{2} + frac{1}{2}, du

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int – frac{u^{2}}{2}, du = – frac{1}{2} int u^{2}, du

              1. Интеграл
                u^{n}
                есть
                frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                :

                int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              – frac{u^{3}}{6}

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              int frac{1}{2}, du = frac{u}{2}

            Результат есть:
            – frac{u^{3}}{6} + frac{u}{2}
            $$

          Если сейчас заменить $$
          u
          ещё в:

          – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 1right) cos{left (2 x right )} = – sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} + cos{left (2 x right )}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int – sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}, dx = – int sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}, dx

            1. пусть
              u = sin{left (2 x right )}
              .

              Тогда пусть
              du = 2 cos{left (2 x right )} dx
              и подставим
              frac{du}{2}
              :

              int u^{2}, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                int u^{2}, du = frac{1}{2} int u^{2}, du

                1. Интеграл
                  u^{n}
                  есть
                  frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                  :

                  int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
                  $$

                Таким образом, результат будет: $$
                frac{u^{3}}{6}
                $$

              Если сейчас заменить $$
              u
              ещё в:

              frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )}
              $$

            Таким образом, результат будет: $$
            – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )}

          1. пусть
            u = 2 x
            .

            Тогда пусть
            du = 2 dx
            и подставим
            frac{du}{2}
            :

            int cos{left (u right )}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
              $$

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                $$
                int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              frac{1}{2} sin{left (u right )}
              $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

          Результат есть:
          – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

      Таким образом, результат будет:
      – frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{16} sin{left (2 x right )}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{3}{8} cos^{2}{left (2 x right )}, dx = frac{3}{8} int cos^{2}{left (2 x right )}, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        cos^{2}{left (2 x right )} = frac{1}{2} cos{left (4 x right )} + frac{1}{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int frac{1}{2} cos{left (4 x right )}, dx = frac{1}{2} int cos{left (4 x right )}, dx

          1. пусть
            u = 4 x
            .

            Тогда пусть
            du = 4 dx
            и подставим
            frac{du}{4}
            :

            int cos{left (u right )}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int cos{left (u right )}, du = frac{1}{4} int cos{left (u right )}, du
              $$

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

                $$
                int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              frac{1}{4} sin{left (u right )}
              $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            frac{1}{4} sin{left (4 x right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{8} sin{left (4 x right )}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          int frac{1}{2}, dx = frac{x}{2}

        Результат есть:
        frac{x}{2} + frac{1}{8} sin{left (4 x right )}
        $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{3 x}{16} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{3}{8} cos{left (2 x right )}, dx = frac{3}{8} int cos{left (2 x right )}, dx

      1. пусть
        u = 2 x
        .

        Тогда пусть
        du = 2 dx
        и подставим
        frac{du}{2}
        :

        int cos{left (u right )}, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
          $$

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $$
            int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{2} sin{left (u right )}
          $$

        Если сейчас заменить $$
        u
        ещё в:

        frac{1}{2} sin{left (2 x right )}
        $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{3}{16} sin{left (2 x right )}

    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      int frac{1}{8}, dx = frac{x}{8}

    Результат есть:
    frac{5 x}{16} – frac{1}{48} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{4} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )}

  4. Теперь упростить:

    frac{5 x}{16} + frac{15}{64} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )} + frac{1}{192} sin{left (6 x right )}
    $$

  5. Добавляем постоянную интегрирования:

    $$
    frac{5 x}{16} + frac{15}{64} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )} + frac{1}{192} sin{left (6 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

frac{5 x}{16} + frac{15}{64} sin{left (2 x right )} + frac{3}{64} sin{left (4 x right )} + frac{1}{192} sin{left (6 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ

1
/
| 5 3
| 6 5 cos (1)*sin(1) 5*cos(1)*sin(1) 5*cos (1)*sin(1)
| cos (x) dx = — + ————– + ————— + —————-
| 16 6 16 24
/
0

$${{9,sin 4-4,sin ^32+48,sin 2+60}over{192}}$$
Численный ответ

0.488686178391591

Ответ (Неопределённый)

/
| 3
| 6 sin (2*x) sin(2*x) 3*sin(4*x) 5*x
| cos (x) dx = C – ——— + ——– + ———- + —
| 48 4 64 16
/

$${{{{3,left({{sin left(4,xright)}over{2}}+2,xright)}over{
16}}+{{sin left(2,xright)-{{sin ^3left(2,xright)}over{3}}
}over{8}}+{{3,sin left(2,xright)}over{8}}+{{x}over{4}}
}over{2}}$$
   

Купить уже готовую работу

Подробнее
Интеграл (8-3x)cos5x
Решение задач, Высшая математика
Выполнил: user1504019
20
Интеграл dx/(x^4-x^2)
Решение задач, Высшая математика
Выполнил: user1504019
20

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.

 

Также искали:

Интеграл (4*x+3)^10 (dx)

Интеграл (2-9*x)^6 (dx)

Интеграл sin(x)^(2)*cos(x)^(6) (dx)

Интеграл (cos(3*x)+sin(3*x))^2 (dx)

5.0
avrprog
Занимаюсь созданием сайтов, разработкой устройств на микроконтроллерах avr, пишу на языке Си. Пишу рефераты, контрольные работы, расчетные работы по электротехнике, электронике, радиотехнике, транспортным средствам,
Нанять автора

Рейтинг сайтов по написанию работ