Для нахождения плоскости, заданной треугольником ABC, методом замены плоскостей проекций, нам понадобится найти прямоугольный параллелепипед, построенный на векторах AB, AC и нормали данной плоскости.
1. Найдем векторы AB и AC:
AB = B – A = (45; 75; 70) – (10; 15; 5) = (35; 60; 65)
AC = C – A = (80; 30; 25) – (10; 15; 5) = (70; 15; 20)
2. Найдем векторное произведение AB и AC:
N = AB × AC = (35; 60; 65) × (70; 15; 20)
Для нахождения векторного произведения AB × AC можно воспользоваться правилом Саррюса:
N = (60 * 20 – 15 * 65, -(35 * 20 – 15 * 70), 35 * 15 – 60 * 70)
N = (-825, 200, -4100)
3. Найдем длину вектора N:
|N| = √((-825)^2 + 200^2 + (-4100)^2) = √(680625 + 40000 + 16810000) = √(17562625) ≈ 4192.67
4. Нормируем вектор N, чтобы получить нормальную величину плоскости:
N_norm = N / |N| = (-825 / 4192.67, 200 / 4192.67, -4100 / 4192.67) ≈ (-0.1968, 0.0477, -0.9794)
Таким образом, плоскость, заданная треугольником ABC методом замены плоскостей проекций, имеет нормальный вектор (-0.1968, 0.0477, -0.9794).