Для нахождения симметричной точки P относительно плоскости α, нужно использовать формулу для симметрии относительно плоскости.
Шаги решения:
1) Запишем уравнение плоскости α: x – y + 2z – 2 = 0.
2) Найдем нормальный вектор плоскости α, коэффициентами перед переменными в уравнении плоскости: n = (1, -1, 2).
3) Найдем расстояние d от точки М до плоскости α по формуле расстояния от точки до плоскости:
d = |(Ax + By + Cz + D)/∥n∥|,
где A, B, C, D – коэффициенты уравнения плоскости, ∥n∥ – норма вектора n.
У нас A = 1, B = -1, C = 2, D = -2.
Подставляя значения, получаем:
d = |(1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 – 2)/√(1^2 + (-1)^2 + 2^2)| = |(2 + 1 + 2 – 2)/√6| = 3/√6.
4) Найдем вектор VN, соединяющий точку М с плоскостью α:
VN = -d * n / ∥n∥
Подставляя значения, получаем:
VN = -(3/√6) * (1, -1, 2) / √(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = -(3/√6) * (1/√6, -1/√6, 2/√6) = (-3/6, 3/6, -6/6) = (-1/2, 1/2, -1).
5) Найдем координаты точки P, симметричной точке М относительно плоскости α, с помощью формулы:
P = M + 2 * VN.
Подставляя значения, получаем:
P = (2, -1, 1) + 2 * (-1/2, 1/2, -1) = (2, -1, 1) + (-1, 1, -2) = (2-1, -1+1, 1-2) = (1, 0, -1).
Ответ: точка P с координатами (1, 0, -1) является симметричной точкой M относительно плоскости α.