Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников:
c^2 = a^2 + b^2
Где c – гипотенуза, а и b – катеты треугольника.
По условию задачи, известно, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 48 см:
c + b = 48
Также известно, что один из катетов равен 30°. Обозначим его за a.
Теперь мы можем записать уравнение для гипотенузы:
c^2 = a^2 + b^2
Так как катеты в прямоугольном треугольнике всегда положительны, то и гипотенуза будет положительной. Поэтому можем записать:
c = √(a^2 + b^2)
Теперь подставим это выражение для гипотенузы в уравнение суммы:
√(a^2 + b^2) + b = 48
Теперь возведем это уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(a^2 + b^2) + 2b√(a^2 + b^2) + b^2 = 48^2
Так как у нас есть информация о значении одного катета a = 30°, подставим это в уравнение:
(30°^2 + b^2) + 2b√(30°^2 + b^2) + b^2 = 48^2
900° + b^2 + 2b√(900° + b^2) + b^2 = 2304
2b√(900° + b^2) = 2304 – 900° – 2b^2
b√(900° + b^2) = 702 – b^2
Возведем это уравнение в квадрат еще раз:
b^2(900° + b^2) = (702 – b^2)^2
900b^2 + b^4 = 702^2 – 2b^2 + b^4
901b^2 = 702^2 – 2b^2
903b^2 = 702^2
b^2 = 702^2 / 903
b = √(702^2 / 903)
b ≈ 18.54
Таким образом, длина меньшего катета примерно равна 18.54 см.