Для определения взаимного расположения прямой и плоскости необходимо исследовать их взаимное пересечение.
1. В начале задачи дана прямая в параметрической форме:
x – 13/8 = t
y – 1/2 = t
z – 4/3 = t
где t – параметр.
2. Плоскость задана уравнением:
2x – y – 3z + 5 = 0.
3. Для определения пересечения прямой с плоскостью можем решить систему из уравнений прямой и уравнения плоскости совместно.
Подставляем параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости:
2(t + 13/8) – (t + 1/2) – 3(t + 4/3) + 5 = 0.
4. После упрощения уравнения получаем:
2t + 26/8 – t – 1/2 – 3t – 4/3 + 5 = 0.
5. Объединяем и упрощаем дроби:
(16t + 52 – 12t – 8 – 24t – 32 + 120) / 24 = 0.
6. Производим вычисления в числителе:
16t – 12t – 24t + 52 – 8 – 32 + 120 = 0.
7. Идет дальнейшее упрощение:
-20t + 132 = 0.
8. Окончательно получаем:
-20t = -132.
9. Решая это уравнение, находим значение параметра t:
t = -132 / -20 = 6.6.
10. Подставляем найденное значение t в параметрическую формулу прямой:
x = -17/8 + 6.6 = 39/8,
y = -1/2 + 6.6 = 12/5,
z = -4/3 + 6.6 = 16/5.
11. Итак, получаем точку пересечения прямой и плоскости: (39/8, 12/5, 16/5).
Таким образом, прямая и плоскость имеют одну точку пересечения.