Пусть стороны треугольника АВС равны АВ=x, ВС=y и АС=z. Заметим, что по условию, АВ:ВС=2:3, то есть x/y=2/3.
Так как ВК-биссектриса делит сторону АВ на отрезки, пропорциональные другим сторонам, можно записать уравнение для отрезков АK и CK:
AK/CK = AB/CB.
Подставим значения из условия:
(x+y)/3 = x/y.
Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:
xy + y^2 = 3x^2.
Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:
3x^2 – xy – y^2 = 0.
Теперь запишем еще одно условие, СК-АК=3 см. Получим уравнение:
CK – AK = 3.
Заметим, что AK = x+y, CK = z-y.
Подставим значения в уравнение и получим:
z-y – (x+y) = 3.
Заменим х на 2/3 у и упростим:
z-3y = 3.
Теперь у нас есть два уравнения:
3x^2 – xy – y^2 = 0 (1),
z-3y = 3 (2).
Решим систему уравнений методом подстановки:
Из уравнения (2) выразим z через y:
z = 3y + 3.
Подставим это значение в уравнение (1):
3x^2 – xy – y^2 = 0.
Заменим z:
3x^2 – xy – y^2 = 0,
3x^2 – x(3y+3) – y^2 = 0,
3x^2 – 3xy – 3x – y^2 = 0,
3x^2 – 3xy – 3x – y^2 = 0.
Данное уравнение является квадратным относительно x. Решим его с помощью квадратного трехчлена.
Находим дискриминант:
D = (-3y)^2 – 4 * 3 * (-3x – y^2),
D = 9y^2 + 36x + 12y^2.
Уравнение имеет два корня:
x = (-(-3y) ± √(9y^2 + 36x + 12y^2)) / 6,
x = (3y ± √(21y^2 + 36y^2)) / 6,
x = (3y ± √(57y^2)) / 6,
x = (3y ± 3y√(57)) / 6,
x = (y ± y√(57)) / 2.
Таким образом, сторона АС равна z = 3y + 3.
Проверим систему уравнений численно:
Пусть y = 3. Тогда x = (3 ± 3√(57)) / 2 и z = 3(3) + 3 = 12.
Если подставим эти значения в уравнение (1), получим 0, что подтверждает правильность решения системы.
Ответ: сторона АС равна 12 см.