Пусть плоскость пересекает сферу в точках P1, P2, P3, P4, P5, P6, которые соответствуют точкам пересечения лучей с плоскостью. Докажем, что эти точки лежат на одной сфере.
Шаг 1: Понимание геометрической конфигурации.
Рассмотрим четыре точки: A, P1, P2 и центр сферы O. Из условия задачи плоскость пересекает сферу перпендикулярно диаметру AB, поэтому O является серединой отрезка AB. Также известно, что лучи из точки A не лежат в одной плоскости, значит, точки P1 и P2 лежат по разные стороны от плоскости, проходящей через точки A, O и B. А значит, вектор AP1 и вектор AP2 имеют противоположные направления.
Шаг 2: Рассмотрение точек P3, P4, P5 и P6.
Точно таким же образом, можно рассмотреть четыре точки: A, P3, P4 и O. Из аналогичных соображений точки P3 и P4 лежат по разные стороны от плоскости AOB, а значит, вектор AP3 и вектор AP4 имеют противоположные направления.
Шаг 3: Доказательство.
Из шага 1 известно, что вектор AP1 и вектор AP2 имеют противоположные направления, а из шага 2 – что вектор AP3 и вектор AP4 тоже имеют противоположные направления. Значит, трехмерные векторы AP1, AP2 и AP3, AP4 могут быть представлены как параллельные стороны многоугольника, вписанного в сферу с центром в точке A. Известно, что противоположные стороны многоугольника параллельны и равны, а значит, соответствующие вершины (точки P1, P2 и P3, P4) лежат на одной окружности. Аналогичным образом проводится доказательство для точек P5 и P6.
Таким образом, мы доказали, что шесть точек пересечения лучей с плоскостью и сферой лежат на одной сфере, центр которой находится в точке A.