На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Пункт 1:
Для начала обозначим векторами следующие отрезки:
AB = a1b1, AD = a1d1, DC = d1c1, BC = b1c1, AM = a1m, DN = d1n, B1E = b1e1, F1C = f1c1.
Так как точка M – середина стороны AD, то вектор AM равен вектору MD, то есть AM = MD.
Аналогично, из условия точка N – середина стороны DC, следовательно, вектор DN = NC.
Таким образом, мы получили, что вектор AM = MD и вектор DN = NC.
Но из параллелограмма ABCD следует, что векторы MD и NC равны по модулю и противоположно направлены, то есть по модулю DN = NC = MD.
Значит, вектор FN = F1C + CN.
Но так как CN = DN, то получаем, что FN = F1C + DN.
Аналогично, вектор EM = E1B + AM.
Но так как AM = MD, то получаем, что EM = E1B + MD.
Из полученных равенств следует, что вектор FN равен вектору EM.
Пункт 2:
Для доказательства этого пункта нужно проверить, что система векторов DA, DN и DQ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМА.
Предположим, что система векторов линейно зависима, то есть существуют коэффициенты a, b, c, не все равные нулю, такие, что вектор DA = a(DN) + b(DQ).
Рассмотрим эту равенство по координатам.
Для координаты X получаем, что xD = a * xN + b * xQ.
Аналогично для координат Y и Z.
Так как точки N, Q и D различны, то уравнение выше эквивалентно системе:
x = a * xN + b * xQ,
y = a * yN + b * yQ,
z = a * zN + b * zQ.
Данная система имеет единственное решение, так как точки N, Q и D не лежат на одной прямой и не параллельны двум осям координат,
следовательно матрица коэффициентов системы имеет полный ранг 3 и обратима.
Таким образом, единственное решение системы имеет вид a = 0, b = 0.
Значит система векторов DA, DN и DQ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМА и образует базис пространства.
Пункт 3:
Так как система векторов DA, DN, DQ образует базис пространства, то вектора DF, C1E, NA1 можно выразить через эту систему.
DF = a1d1 – a1f1,
C1E = c1e1 – c1b1,
NA1 = n – a1.
Подставим в эти выражения значения векторов DA, DN, DQ в базисе DA, DN и DQ:
DF = DN – 2 * DQ – DN + DA = DA – 2 * DQ,
C1E = DA + DN – DA + DN – DC = DN – DC,
NA1 = DN + 2 * DQ – DA + DN = 2 * DN – 2 * DA + DQ.
Таким образом, мы выразили векторы DF, C1E, NA1 через базисную систему векторов DA, DN, DQ.
Пункт 4:
Для проверки образуют ли векторы из пункта 3 базис пространства, нужно убедиться, что матрица, составленная из координат этих векторов, обратима.
Запишем координаты векторов DF, C1E и NA1:
DF = (xDF, yDF, zDF),
C1E = (xC1E, yC1E, zC1E),
NA1 = (xNA1, yNA1, zNA1).
Построим матрицу из этих векторов:
M = [[xDF, xC1E, xNA1],
[yDF, yC1E, yNA1],
[zDF, zC1E, zNA1]].
Если определитель матрицы M не равен нулю, то матрица обратима и векторы DF, C1E, NA1 образуют базис пространства.
Если определитель равен нулю, то векторы не образуют базис пространства.
Таким образом, нужно вычислить определитель матрицы M и проверить его ненулевое значение для определения образования базиса и его ориентации.
