Шаги решения:
1. Найдем производную функции y по x, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования корня.
y’ = -1/3 * (x^2 – 2x)^(-2/3) * (2x – 2)
= -2/3 * (x – 1) / (x^2 – 2x)^(2/3)
2. Найдем точки, в которых производная равна 0 или не определена. Для этого решим уравнение y’ = 0.
-2/3 * (x – 1) / (x^2 – 2x)^(2/3) = 0
Так как знаменатель не может быть равен 0, получаем, что x – 1 = 0, откуда x = 1.
3. Исследуем знак производной на интервалах между точками разрыва. Для этого выберем тестовые точки в каждом интервале и подставим их в производную.
Если значение производной больше 0, то функция возрастает.
Если значение производной меньше 0, то функция убывает.
Проверим каждый из интервалов:
– Для x < 1 выберем x = 0: y'(-2/3) = -2/3 * (-2/3)/4 = 4/9 > 0, значит, функция возрастает.
– Для 1 < x выберем x = 2: y'(4/3) = -2/3 * (2/3)/4 = -4/9 < 0, значит, функция убывает.
4. Определим экстремумы функции. Экстремумы могут находиться в точках, где производная меняет знак с плюса на минус или наоборот. В данной задаче таких точек нет.
5. Построим график функции y и укажем поведение функции на основе исследования производной.
- На интервале (-∞, 1) функция возрастает.
- В точке x = 1 функция имеет разрыв, так как знаменатель становится равным 0.
- На интервале (1, +∞) функция убывает.
График функции будет иметь ветви, стремящиеся к некоторому пределу при x → ±∞ и иметь разрыв в точке x = 1. На интервале (-∞, 1) функция будет возрастать, а на интервале (1, +∞) функция будет убывать.