Два вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Для определения, при каком значении параметра а векторы будут компланарными, можно использовать свойство смешанного произведения векторов.
Смешанное произведение трёх векторов определяется следующим образом:
a • (b × c) = det([a, b, c]),
где a, b и c – трёхмерные векторы, det – определитель матрицы, составленной из векторов a, b и c.
Если смешанное произведение равно нулю, то векторы a, b и c компланарны.
Рассмотрим два вектора a = (a1, a2, a3) и b = (b1, b2, b3). Вычислим их смешанное произведение:
(a × b) = det([i, j, k; a1, a2, a3; b1, b2, b3]),
где i, j, k – базисные векторы.
Запишем матрицу и вычислим определитель:
(a × b) = (a2 * b3 – a3 * b2)i – (a1 * b3 – a3 * b1)j + (a1 * b2 – a2 * b1)k.
Заметим, что смешанное произведение равно 0, если все коэффициенты перед базисными векторами равны 0:
a2 * b3 – a3 * b2 = 0,
a1 * b3 – a3 * b1 = 0,
a1 * b2 – a2 * b1 = 0.
Решим эту систему уравнений. Найдём общий множитель и разделим каждое уравнение на него:
1. a2 * b3 – a3 * b2 = 0,
2. a1 * b3 – a3 * b1 = 0,
3. a1 * b2 – a2 * b1 = 0.
После тривиальных действий мы приходим к следующей системе:
1. b3 * (a2/a3) – b2 = 0,
2. b3 * (a1/a3) – b1 = 0,
3. b2 * (a1/a2) – b1 = 0.
Мы нашли отношения для каждого уравнения в системе. Теперь нужно найти параметер а, при котором система имеет решение.
a2/a3 = a1/a3 = a1/a2, поэтому нужно найти значение а, при котором эти отношения совпадают.
Получается, что векторы будут компланарными, когда значения всех трех отношений равны друг другу.
Таким образом, при значении параметра a, равному a1/a2 = a1/a3 = a2/a3, векторы будут компланарными.