Для доказательства данного утверждения, рассмотрим точку M внутри прямоугольника ABCD и построим отрезки AM, BM, CM и DM.
1. Рассмотрим треугольник ABM. По неравенству треугольника, сумма длин двух его сторон всегда больше длины третьей стороны. Применяя это неравенство к треугольнику ABM, получаем:
AM + BM > AB — (1)
2. Точно так же, рассмотрим треугольник CDM. Применяя неравенство треугольника к треугольнику CDM, получаем:
CM + DM > CD — (2)
3. Просуммируем неравенства (1) и (2) и получим:
AM + BM + CM + DM > AB + CD
4. Отметим, что стороны AB и CD являются параллельными и равными сторонами прямоугольника ABCD. Следовательно, AB = CD и можем записать:
AM + BM + CM + DM > 2AB
5. Разделим получившееся неравенство на 2:
(AM + BM + CM + DM)/2 > AB
6. Заметим, что запись (AM + CM)/2 представляет собой половину суммы длин сторон AC и BD. Аналогично, (BM + DM)/2 представляет собой половину суммы длин сторон BC и AD.
7. На основании этого, выражение (AM + CM)/2 + (BM +DM)/2 может быть переписано как (AC + BD)/2.
8. В конечном итоге, получаем:
(AM + CM + BM + DM)/2 > (AC + BD)/2
9. Упростим запись, поделив обе части неравенства на 2:
AM + CM + BM + DM > AC + BD
10. Строим отрезки AC и BD, которые проходят через точку M и пересекаются в точке O.
11. Треугольники AOM и DOM равны по стороне, общей с АМ+СМ и СМ+ВМ соответственно. Из этого следует, что AM + CM = AO и BM + DM = DO.
12. Таким образом, мы можем заменить AM + CM и BM + DM в неравенстве (9):
AO + DO > AC + BD
13. Заметим, что точка O является серединой отрезка AC и BD, следовательно, AC + BD = 2AO и AO + DO = 2AO.
14. Подставляем эти равенства в неравенство (12):
2AO > 2AO
15. Теперь, так как левая и правая стороны неравенства совпадают, мы можем сделать вывод, что неравенство верно для любой точки M внутри прямоугольника ABCD.
Таким образом, мы доказали, что для произвольной точки M в плоскости выполняется равенство AM + CM = BM + DM.