1. Найдем направляющий вектор прямой, построив две точки на этой прямой: A(1, -19, 8) и B(0, 0, 1). Вектор AB будет направляющим вектором прямой и будет равен u(1-0, -19-0, 8-1) = u(1, -19, 7).
2. Найдем нормальный вектор плоскости 2x + 19y – 7z – 11 = 0. В уравнении плоскости, коэффициенты перед x, y и z являются координатами нормального вектора. В данном случае нормальный вектор будет равен v(2, 19, -7).
3. Так как искомая плоскость должна быть перпендикулярна к данной плоскости и проходить через прямую, ее нормальный вектор должен быть перпендикулярен вектору u. Поэтому нормальный вектор плоскости будет равен произведению векторов u и v, нормированному на единицу. То есть, нормальный вектор плоскости: n = (u × v) / ||u × v||, где × обозначает векторное произведение, а || || обозначает длину вектора.
4. Выполним вычисления:
u × v = (1, -19, 7) × (2, 19, -7) = (-140, -21, 361),
||u × v|| = sqrt((-140)^2 + (-21)^2 + 361^2) = 378.
Нормальный вектор плоскости: n = (-140/378, -21/378, 361/378) = (-20/54, -3/54, 361/378) = (-10/27, -1/18, 19/42).
5. Так как мы знаем направляющий вектор прямой (u) и нормальный вектор плоскости (n), уравнение искомой плоскости примет вид:
(-10/27)(x-1) + (-1/18)(y+19) + (19/42)(z-8) = 0.
Можно умножить все члены уравнения на 54, чтобы убрать дроби:
-20(x-1) – 3(y+19) + 27(z-8) = 0.
-20x + 20 + -3y – 57 + 27z – 216 = 0.
-20x – 3y + 27z – 253 = 0.
Окончательное уравнение плоскости: -20x – 3y + 27z – 253 = 0.