Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной прямой DM, мы можем использовать уравнение плоскости в параметрической форме.
Пусть точка D имеет координаты (x1, y1, z1), а точка M имеет координаты (x2, y2, z2). Тогда вектор DM будет иметь координаты (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).
Перепишем данную информацию в нашем случае:
D (-3; 20; -4), M (9; 24; 16)
Вычислим вектор DM:
DM = (9 – (-3), 24 – 20, 16 – (-4)) = (12, 4, 20)
Теперь мы знаем вектор перпендикулярный прямой DM. Обозначим его как n(x, y, z).
Уравнение плоскости в параметрической форме можно записать следующим образом:
n*r = n*r0,
где r = (x, y, z) представляет координаты любой точки на плоскости, а r0 = (x1, y1, z1) – координаты точки D.
Подставляя векторы, полученные ранее, в уравнение, получаем следующее:
(x, y, z)*(12, 4, 20) = (-3, 20, -4)*(12, 4, 20)
Раскрываем произведения:
12x + 4y + 20z = (-3)*12 + 20*4 + (-4)*20
Упрощаем:
12x + 4y + 20z = -36 + 80 – 80
24x + 4y + 20z = -36
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку D(-3, 20, -4) и перпендикулярной прямой DM(12, 4, 20), будет иметь вид:
24x + 4y + 20z = -36
Это и есть уравнение искомой плоскости.