Пусть AB и CD – основания трапеции, а EF – биссектриса угла при меньшем основании. Также пусть M – середина боковой стороны трапеции. Поскольку биссектриса EF делит боковую сторону трапеции пополам, то EM = MF.
Из этого следует, что треугольники EMF и EMA равнобедренные, поскольку у них равны стороны EM и MF и углы при основаниях равны. Значит, у них равны также углы при вершине E, а значит, треугольники EMF и EMA подобны.
Таким образом, можно записать пропорцию:
EF/EM = EA/MA
Поскольку EM = MF, то получаем:
EF/MF = EA/MA
Известно, что EM = MF и EA + MA = AB + CD. Обозначим EA = x и MA = AB – x.
Тогда получим:
EF/MF = x/(AB – x)
Поскольку биссектриса угла при меньшем основании делит боковую сторону трапеции пополам, то EF = AB/2.
Подставив в пропорцию значения, получаем:
AB/2/(AB/2) = x/(AB – x)
Упростим:
1 = x/(AB – x)
Решив это уравнение относительно x, получим:
AB – x = x
2x = AB
x = AB/2
Таким образом, x = AB/2. Также известен факт, что средняя линия равна 6. Поэтому AB = 12.
Зная значение x и AB, мы можем найти MA и EA:
MA = AB – x = 12 – 6 = 6
EA = x = 6
Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон. Поскольку AB = 12, BC = CD (так как трапеция равнобедренная) и AD = AB (так как AB – основание), то периметр равен:
AB + BC + CD + AD = 12 + x + x + 12 = 24 + 2x = 24 + 2*6 = 36
Таким образом, периметр трапеции равен 36.