Сторона ВС треугольника АВС лежит в плоскости а, а точка А не лежит в ней. М и К – точки сторон АВ и АС соответственно, причем AM:MB-АК:СК=1:3. Докажите, что MK|| а.

Для доказательства того, что MK параллельно плоскости а, можно использовать два факта:
1) Если две прямые пересекаются в одной плоскости и оба пересекают третью прямую, параллельную этой плоскости, то они параллельны друг другу.
2) Если две прямые заданы точками и их направляющими векторами, и отношение соответствующих компонент векторов равно, то эти прямые параллельны.

Итак, рассмотрим вектора, определяющие прямые AM и AK. Пусть векторы описываются координатами (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) соответственно. Тогда, из условия AM_MB=1:3, можно сказать, что вектор MB задается координатами (3×1, 3y1, 3z1).

Аналогично, вектор SK определяется координатами (x3, y3, z3), а вектор КC будет иметь координаты (3×3, 3y3, 3z3).

Теперь, чтобы доказать параллельность прямых MK и а, нужно проверить, что векторы MK и а пропорциональны.

Вектор MK будет равен разности векторов MC и MK. Если мы вычтем координаты вектора КC из координат вектора AM, получим:

(x1 – 3×3, y1 – 3y3, z1 – 3z3)

Теперь, поскольку а параллельно плоскости а, вектор, описывающий эту плоскость, будет иметь координаты (x4, y4, z4).

Если мы сравним координаты вектора а и вектора MK, то получим следующее:

1) x1 – 3×3 = x4
2) y1 – 3y3 = y4
3) z1 – 3z3 = z4

Таким образом, проверили, что векторы MK и а пропорциональны. Следовательно, в соответствии с фактом 2), прямые MK и а параллельны.

Таким образом, доказано, что MK || а.