Дано, что тангенс одного из углов прямоугольного треугольника равен 4/3, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 9. Нужно найти длину гипотенузы.
Шаг 1: Используем определение тангенса. Тангенс угла можно найти, разделив величину противоположного катета на величину прилегающего катета. Таким образом, получаем формулу: тангенс угла = противоположный катет / прилегающий катет.
Шаг 2: Обозначим противоположный катет как x и прилегающий катет как y.
Шаг 3: Из условия задачи известно, что тангенс угла равен 4/3. То есть, x / y = 4/3.
Шаг 4: У нас также есть высота, опущенная на гипотенузу, равная 9. Значит, x + y = 9.
Шаг 5: Теперь у нас есть система уравнений:
x / y = 4/3,
x + y = 9.
Шаг 6: Решим систему уравнений. Поделим первое уравнение на x:
1 / y = 4 / (3x).
Шаг 7: Подставим это выражение во второе уравнение:
1 / (4 / (3x)) + y = 9.
Шаг 8: Сократим дробь в первом слагаемом и упростим выражение:
3x/4 + y = 9.
Шаг 9: Перепишем уравнение в более удобной форме:
3x + 4y = 36.
Шаг 10: Умножим первое уравнение системы на 3, чтобы избавиться от дроби:
3x = 4y.
Шаг 11: Подставим значение 3x из второго уравнения в первое:
4y + 4y = 36.
Шаг 12: Суммируем слагаемые:
8y = 36.
Шаг 13: Разделим обе части уравнения на 8:
y = 4.5.
Шаг 14: Подставим значение y в первое уравнение системы:
3x = 4y,
3x = 4 * 4.5,
3x = 18,
x = 6.
Шаг 15: Теперь мы знаем значения x и y (x=6 и y=4.5), которые представляют собой величины противоположного и прилегающего катетов. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу:
гипотенуза^2 = x^2 + y^2,
гипотенуза^2 = 6^2 + 4.5^2,
гипотенуза^2 = 36 + 20.25,
гипотенуза^2 = 56.25.
Шаг 16: Извлекаем квадратный корень, чтобы найти гипотенузу:
гипотенуза = √(56.25),
гипотенуза ≈ 7.5.
Ответ: Длина гипотенузы приближенно равна 7.5.