Дано, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Возьмем вектор AD, который соединяет точки A и D, и вектор AB, который соединяет точки A и B. Также возьмем вектор CB, который соединяет точки C и B, и вектор CD, который соединяет точки C и D.
Чтобы доказать равенство, докажем, что две стороны равны.
Сначала рассмотрим левую сторону уравнения: 1/2(AD – AB). Мы можем представить эту сумму в виде 1/2(AD) – 1/2(AB).
Теперь рассмотрим правую сторону уравнения: 1/2(CB – CD). Аналогично, мы можем представить это равенство как 1/2(CB) – 1/2(CD).
Теперь проведем рассуждения поочередно для каждой стороны уравнения:
Левая сторона: 1/2(AD) – 1/2(AB).
По определению вектора, можно представить AD как сумму векторов AB и BD (то есть AD = AB + BD). Подставим это в уравнение:
1/2(AB + BD) – 1/2(AB).
Правая сторона: 1/2(CB) – 1/2(CD).
Аналогично, можно представить CB как сумму векторов CD и DB (то есть CB = CD + DB). Подставим это в уравнение:
1/2(CD + DB) – 1/2(CD).
Теперь объединим эти два выражения и упростим их:
1/2(AB + BD) – 1/2(AB) = 1/2(CD + DB) – 1/2(CD).
Заметим, что в обоих случаях у нас есть общий член AB и CD, который можно сократить. Также обратим внимание на то, что остается только член BD на левой стороне уравнения и член DB на правой стороне.
Следовательно, мы получаем BD = DB.
Это означает, что вектор BD равен вектору DB.
Из данного факта следует, что уравнение 1/2(AD – AB) = 1/2(CB – CD) является верным.
Таким образом, доказано, что 1/2(AD – AB) = 1/2(CB – CD) при условии, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.