Перейдем от трехмерного векторного решения к аналитическому решению. Пусть координаты точек M, N, P и Q равны соответственно (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) и (x4, y4, z4). Тогда координаты точек K и R равны средним значениям соответствующих координат:
К((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2)
R((x3 + x2) / 2, (y3 + y2) / 2, (z3 + z2) / 2).
Построим вектор KR:
KR = R – K = ((x3 + x2) / 2 – (x1 + x2) / 2, (y3 + y2) / 2 – (y1 + y2) / 2, (z3 + z2) / 2 – (z1 + z2) / 2)
= ((x3 – x1) / 2, (y3 – y1) / 2, (z3 – z1) / 2)
= (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1) / 2.
Теперь рассмотрим вектор нормали плоскости NPQ. Возьмем два вектора, лежащие в плоскости NPQ: NQ и PQ. Тогда векторное произведение этих векторов будет нормалью к плоскости NPQ:
n = NQ × PQ.
Вычислим вектор n:
NQ = Q – N = (x4 – x2, y4 – y2, z4 – z2),
PQ = Q – P = (x4 – x3, y4 – y3, z4 – z3).
Вычислим векторное произведение и нормируем его:
n = NQ × PQ = ((y4 – y2)(z4 – z3) – (z4 – z2)(y4 – y3), (z4 – z2)(x4 – x3) – (x4 – x2)(z4 – z3), (x4 – x2)(y4 – y3) – (y4 – y2)(x4 – x3)).
Так как вектор KR равен половине вектора NPQ и вектор от K к R пропорционален вектору n, то это означает, что вектор KR параллелен вектору n. Следовательно, прямая KR параллельна плоскости NPQ
