Для решения задачи нам понадобится знать, что обьем параллелепипеда можно вычислить как модуль смешанного произведения векторов, определяющих его ребра:
V = |(AB × AC)·AD|,
где AB, AC и AD — векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, и × обозначает векторное произведение, а · — скалярное произведение.
1. Вычислим векторы AB, AC и AD:
AB = B – A = (1; 3; -2),
AC = C – A = (-1; -2; -2),
AD = D – A = (1; -3; 1).
2. Найдем смешанное произведение векторов AB, AC и AD:
AB × AC = (AB.x * AC.y – AB.y * AC.x, AB.x * AC.z – AB.z * AC.x, AB.y * AC.z – AB.z * AC.y) = (-2 * (-2) – 3 * (-2), -2 * (-1) – (-2) * (-2), 3 * (-1) – (-2) * (-2)) = (4, 2, -5).
(AB × AC)·AD = 4 * AD.x + 2 * AD.y – 5 * AD.z = 4 * 1 + 2 * (-3) – 5 * 1 = 4 – 6 – 5 = -7.
3. Найдем модуль смешанного произведения:
V = |-7| = 7.
Объем параллелепипеда равен 7.
4. Для нахождения уравнения плоскости P, проходящей через точки O, В и C, найдем нормальный вектор плоскости, который можно получить векторным произведением векторов OB и OC:
OB = B – O = (1; 2; 1),
OC = C – O = (1; -3; 1).
Нормальный вектор плоскости P: N = OB × OC = (OB.x * OC.y – OB.y * OC.x, OB.x * OC.z – OB.z * OC.x, OB.y * OC.z – OB.z * OC.y) = (2 * 1 – 2 * 1, 2 * 1 – 1 * 1, 1 * 1 – 1 * (-3)) = (0, 1, 4).
Тогда уравнение плоскости P имеет вид: 0 * x + 1 * y + 4 * z + D = 0.
Для нахождения D подставим координаты точки O(0, 0, 0) в это уравнение:
0 * 0 + 1 * 0 + 4 * 0 + D = 0,
D = 0.
Таким образом, уравнение плоскости Р: y + 4z = 0.
5. Найдем площадь основания параллелепипеда, которое является площадью треугольника ОВС. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по координатам вершин:
S = 1/2 |(x2-x1)(y3-y1)-(y2-y1)(x3-x1)|,
где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) – координаты точек О, В и С в плоскости P.
(x1, y1) = (0, 0),
(x2, y2) = (1, 2),
(x3, y3) = (1, -3).
S = 1/2 |(1-0)(-3-0)-(2-0)(1-0)| = 1/2 |-3-(2*1)| = 1/2 |-3-2| = 1/2 |-5| = 5/2.
Площадь основания параллелепипеда равна 5/2.
6. Найдем длину и канонические уравнения высоты, опущенной из вершины А на плоскость P. Для этого найдем проекцию вектора АО на вектор N, которая будет являться направляющим вектором высоты:
H = (АО · N) / |N|,
где АО — вектор, соединяющий вершины А и О, · обозначает скалярное произведение, и |N| — длина вектора N.
AO = O – A = (0 – 2; 0 – (-1); 0 – 3) = (-2; 1; -3).
H = (AO · N) / |N| = (AO.x * N.x + AO.y * N.y + AO.z * N.z) / |N| = (-2 * 0 + 1 * 1 + (-3) * 4) / |N| = (-7) / |N| = -7 / √(0^2 + 1^2 + 4^2) = -7 / √17.
Таким образом, длина высоты равна -7 / √17, и ее каноническое уравнение имеет вид x = 0, y = 0, z = -7 / √17.
Итак, мы рассчитали объем параллелепипеда (7), уравнение плоскости Р (y + 4z = 0), площадь основания (5/2), длину высоты (-7 / √17) и ее каноническое уравнение (x = 0, y = 0, z = -7 / √17).