В четырёхугольнике ABCD на сторонах AB и CD отмечены такие точки M и N соответственно, что AM_MB=DN:NC=3:5 . Выразите вектор MN через вектора AD и BC.

Обозначим векторы как: AD = a, BC = b, AM = 3x, MB = 5x, DN = 3y, NC = 5y, MN = z.

Так как векторы AM и MB лежат на прямой AB, то их сумма равна вектору AB: AM + MB = AB.
Также из условия AM:MB = 3:5, можем сделать вывод, что AM = (3/8) AB и MB = (5/8) AB.
То есть, AM = (3/8) AB = (3/8) (a – b) и MB = (5/8) AB = (5/8) (a – b).

Аналогично для векторов DN и NC: DN + NC = CD = BC.
DN = (3/8) (a + b) и NC = (5/8) (a + b).

Теперь можем выразить вектор MN через векторы AD и BC:
MN = DN – DM = DN – AM + MB = (3/8) (a + b) – (3/8) (a – b) + (5/8) (a – b)
= (3/8) a + (5/8) a – (3/8) a – (5/8) b + (3/8) b + (5/8) b
= (6/8) a + (8/8) b – (2/8) a – (3/8) b
= (4/8) a + (5/8) b.

Таким образом, вектор MN можно выразить через векторы AD и BC следующим образом: MN = (4/8) a + (5/8) b.